Question

Помогите, срочно, алгебра 10 класс, преобразования выражений Аsinx+Bcosx к виду Сsin(x+t)Докажите тождество:

Answer 1

2√2(1+cos(x-π/4))/2=√2(1+cos(x-π/4)=√2+1+cosxcosπ/4+sinxsinπ/4)=
=√2(1+√2/2cosx+√2/2sinx)=√2+√2*√2/2cosx+√2*√2/2sinx=√2+cosx+sinx

Answer 2

Для преобразования выражения Аsinx + Bcosx к виду Csin(x+t), можно воспользоваться формулами тригонометрии:

cssCopy code
A sin x + B cos x = C sin(x + t)

где C = sqrt(A^2 + B^2) - гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами A и B
а tg(t) = B / A - тангенс угла между гипотенузой и стороной A

1. Найдем сначала C:

cssCopy code
C = sqrt(A^2 + B^2)

2. Найдем tg(t):

cssCopy code
tg(t) = B / A

3. Выразим sin(t) и cos(t) через A, B и C, используя формулы для sin и cos двухугольника:

scssCopy code
sin(t) = B / C
cos(t) = A / C

4. Теперь подставим найденные значения C, sin(t) и cos(t) в формулу Csin(x+t) и упростим:

cssCopy code
C sin(x + t) = sqrt(A^2 + B^2) * (B / sqrt(A^2 + B^2) * sin x + A / sqrt(A^2 + B^2) * cos x)
             = A * cos x + B * sin x
             = A sin x + B cos x

Таким образом, мы получили требуемое преобразование.

Докажем тождество:

scssCopy code
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Используем формулу двойного угла для sin:

scssCopy code
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) + sin^2(x) - cos^2(x)

Применим теперь тригонометрические тождества:

luaCopy code
sin^2(x) + cos^2(x) = 1   // теорема Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами sin(x), cos(x) и гипотенузой 1

scssCopy code
sin(2x) = 2sin(x)cos(x) + (1 - cos^2(x) - cos^2(x))
        = 2sin(x)cos(x) + 1 - 2cos^2(x)

Применим теперь формулу двойного угла для cos:

scssCopy code
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)
        = cos^2(x) - (1 - cos^2(x))
        = 2cos^2(x) - 1

Выразим из этого уравнения cos^2(x) и подставим в предыдущее:

scssCopy code
cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) + 1 - 2(1 + cos(2x)) / 2
        = 2sin(x)cos(x) + 1 - (1 + cos(