Question

Решите: 16log4 (5-sqrt(5)) + 4log2 (sqrt(5) + 5)

Answer 1

$16log_4(5- \sqrt{5})+4log_2( \sqrt{5}+5)= \frac{16}{2}log_2(5- \sqrt{5})+4log_2(5+ \sqrt{5})=\\\\=8log_2(5- \sqrt{5})+4log_2(5+ \sqrt{5})$

! В задании скрывается ошибка. Скорее всего там 16 и 4 стоят в степенях

$16^{log_4(5- \sqrt{5})}+4^{log_2( \sqrt{5}+5)}=4^{2log_4(5- \sqrt{5})}+2^{2log_2( \sqrt{5}+5)}=\\\\=(5- \sqrt{5})^2+( \sqrt{5}+5)^2=25+5-10 \sqrt{5}+5+25+10 \sqrt{5}=60$

Answer 2

Для решения данного уравнения с использованием логарифмических свойств, применим следующие правила:

1. log_a (b) + log_a (c) = log_a (b * c)
2. log_a (b) - log_a (c) = log_a (b / c)
3. log_a (b^c) = c * log_a (b)

Применим эти правила к данному уравнению:

16log4 (5 - sqrt(5)) + 4log2 (sqrt(5) + 5)

Применяем правило 3 ко второму слагаемому:

4 * log2 ((sqrt(5) + 5)^4)

Упрощаем выражение в скобках:

4 * log2 (25 + 10sqrt(5) + 10sqrt(5) + 100)

4 * log2 (125 + 20sqrt(5))

Применяем правило 1 к обоим слагаемым:

4 * (log2 125 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

4 * (log2 5^3 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

4 * (3log2 5 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

4 * (3log2 5 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

Применяем правило 3 к обоим слагаемым:

4 * (3 * log2 5 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

4 * (log2 5^3 + log2 (1 + 2sqrt(5)))

4 * (log2 (125 * (1 + 2sqrt(5))))

4 * log2 (125 + 250sqrt(5))

4 * log2 (5 * 25 + 250sqrt(5))

4 * log2 (5(25 + 50sqrt(5)))

4 * (log2 5 + log2 (25 + 50sqrt(5)))

Теперь мы получили сумму двух логарифмов с одним основанием. Мы не можем упростить ее дальше без дополнительных численных значений.