Question

Вычислите значение выражения sinα+cosα если tanα=3

Answer 1

$tana=3 \\ \\ \frac{sina}{cosa}=3 \\ \\ sina=3cosa \\ \\ sina+cosa=3cosa+cosa=4cosa$

ответ: 4cosa

Answer 2

Дано: $tan\alpha=3$

Мы можем использовать тригонометрический тождество $\tan^2\alpha+1=\sec^2\alpha$ и заменить $\tan\alpha$ на 3, чтобы вычислить косинус и синус угла $\alpha$:

$\tan^2\alpha+1=\sec^2\alpha$ $3^2+1=\sec^2\alpha$ $10=\sec^2\alpha$ $\sec\alpha=\sqrt{10}$

Затем мы можем использовать определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, чтобы определить, что $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}$. Теперь мы можем вычислить значение выражения:

$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\boxed{2\sqrt{10}}$

Таким образом, значение выражения $\sin\alpha+\cos\alpha$, когда $\tan\alpha=3$, равно $2\sqrt{10}$.