Question

Решить неравенство: 2x^2+7x-4≤0 Буду очень благодарен!

Answer 1

Это квадратичное неравенство. План решения подобных неравенств всегда одинаков:
1)Для начала приравниваем левую часть к 0, находим точки, при которых квадратичная функция обращается в 0.
2)Размещаем точки на координатной прямой.
3)Применяем метод интервалов.
4)Записываем ответ.
Применим .

1)2x^2 + 7x - 4 = 0
    D = 49 + 32 = 81
  x1 = (-7 - 9)/4 = -16/4 = -4
  x2 = (-7+9) / 4 = 2/4 = 0.5

2)Дальше будем действовать по рисунку, который я сейчас приложу.
Размещаем точки на координатной прямой - сначала -4, затем 1/2.
Замечу, что точки у нас как бы сплошные - необходимо учитывать, что в точках -4 и 0.5 неравенство ведь тоже выполняется. Если бы неравенство не выполнялось в какой-нибудь из этих точек, мы бы пометили её как пустой кружочек.

3)Теперь воспользуемся методом интервалов. Суть его состоит в том, чтобы определить знаки на каждом из полученных интервалов(у нас их три).
Здесь работает хорошо правило чередования знаков.
     а)Определим знак на нитервале x >= 1/2.
     Для этого из этого интервала возьму какую-нибудь точку и подставлю её в левую часть неравенства. Она положительна, значит, в крайнем правом интервале должен быть знак +.
    б)Во всех остальных интервалах справа налево знаки будут просто чередоваться. В среднем интервале поэтому будет -, а в крайнем левом - опять +.

4)Записываем в ответ те интервалы, которые соответствуют знаку неравенства. У нас знак - <=. Значит, в ответ выписываем интервалы со знаком -. У нас один такой отрезок.

Ответ: [-4;1/2]
Замечу, что в ответе я указал квадратные скобки у границ промежутка. Это связано с тем, что неравенство в граничных точках ВЫПОЛНЯЕТСЯ(они обращают левую часть в 0, что допустимо)

Answer 2

Для решения данного неравенства мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения 2x^2 + 7x - 4 = 0:

scssCopy code
2x^2 + 7x - 4 = 0
(2x - 1)(x + 4) = 0
x1 = 1/2, x2 = -4

Теперь разобьем числовую прямую на три интервала:

diffCopy code
x < -4
-4 < x < 1/2
x > 1/2

В каждом из этих интервалов мы будем исследовать знак выражения 2x^2 + 7x - 4. Для этого выберем в каждом интервале любую точку и подставим ее в выражение. Если полученное значение отрицательно или равно нулю, то знак выражения на этом интервале будет не положительный.

Для интервала x < -4 выберем точку x = -5:

scssCopy code
2x^2 + 7x - 4 = 2(-5)^2 + 7(-5) - 4 = -49
-49 ≤ 0

Выражение отрицательно, значит знак выражения на интервале x < -4 не положительный.

Для интервала -4 < x < 1/2 выберем точку x = 0:

scssCopy code
2x^2 + 7x - 4 = 2(0)^2 + 7(0) - 4 = -4
-4 ≤ 0

Выражение отрицательно, значит знак выражения на интервале -4 < x < 1/2 не положительный.

Для интервала x > 1/2 выберем точку x = 1:

scssCopy code
2x^2 + 7x - 4 = 2(1)^2 + 7(1) - 4 = 5
5 > 0

Выражение положительно, значит знак выражения на интервале x > 1/2 положительный.

Таким образом, неравенство 2x^2 + 7x - 4 ≤ 0 выполняется на интервалах x < -4 и -4 < x < 1/2. Решением неравенства является объединение этих интервалов:

cssCopy code
x ∈ (-∞, -4] ∪ [-2, 1/2]

Ответ: x ∈ (-∞, -4] ∪ [-2, 1/2].