Question

Найдите значение производной в точке x0: а) f(x)=4x^2+6x+3, x0=1; б)f(x)=x/1+x^2 ,x0=0; в)f(x)=(3x^2+1)(3x^2-1) ,x0=1; г)f(x)=2x*cosx, x0=Pi/4

Answer 1

$f(x)=4x^2+6x+3 \\ f'(x)=8x+6 \\ f'(x_0)=f'(1)=8*1+6=14 \\ \\ f(x)= \frac{x}{1+x^2} \\ f'(x)= \frac{1*(1+x^2)-x*2x}{(1+x^2)^2}= \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}= \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} \\f'(0)=\frac{1-0^2}{(1+0^2)^2}= \frac{1}{1}=1 \\ \\ f(x)=(3x^2+1)(3x^2-1)=(3x^2)^2-1^2=9x^4-1 \\ f'(x)=9*4x^3=36x^3\\ f'(1)=36*1^3=36$
$f(x)=2x*cosx \\ f'(x)=2*cosx+2x*(-sinx)=2cosx-2xsinx \\ f'( \frac{ \pi }{4})=2cos\frac{ \pi }{4}-2*\frac{ \pi }{4}*sin\frac{ \pi }{4}=2*\frac{\sqrt{2}}{2}-2* \frac{ \pi }{4}*\frac{\sqrt{2}}{2}= \sqrt{2}(1- \frac{\pi}{4})$

Answer 2

а) Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = 8x + 6 Значение производной в точке x0=1: f'(1) = 8(1) + 6 = 14

б) Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = (1 - x^2)/ (1 + x^2)^2 Значение производной в точке x0=0: f'(0) = (1 - 0^2)/ (1 + 0^2)^2 = 1

в) Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = (6x)(3x^2 - 1) + (3x^2 + 1)(6x) Значение производной в точке x0=1: f'(1) = (6(1))(3(1)^2 - 1) + (3(1)^2 + 1)(6(1)) = 48

г) Найдем производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = 2cos(x) - 2xsin(x) Значение производной в точке x0=π/4: f'(π/4) = 2cos(π/4) - 2(π/4)sin(π/4) = √2 - (π/2)