Question

Как доказать , что число иррационально? нужно доказать, что значение выражения √(5+2) - (√ 5+ √2) иррационально

Answer 1

Докажем сначала, что √7 - иррациональное число: 
пусть √7 - рациональное, тогда его можно представить в виде
√7 = p/q - несократимая дробь, где p,q - натуральные числа
тогда 7=p^2/q^2, 7q^2=p^2. Т.к. 7q^2 делится на 7, то и p^2 делится на 7,
тогда p=7k, где к - натуральное, получаем
7q^2=(7k)^2, 7q^2=49k^2, q^2=7k^2, значит q - делится на 7.
Получается, что p - делится на 7 и q - делится на 7, т.е. противоречие, 
т.к. p/q - несократимая дробь. Значит не существует рационального числа, которое равно √7.
Аналогично доказывается, про √5 и √2.
Теперь про сумму(разность) иррациональных чисел:
1. сначала докажем, что √5+√2 - иррациональное
 пусть √5+√2=r - рациональное, тогда √5=r-√2, 5=r^2-2√2+2, получаем
√2=(r^2 -3)/2 - рациональное - противоречие, т.к. √2 - иррац.
2. пусть√7- (√5+√2)=r - рациональное, тогда
√7-r=√5+√2, 7-2√7r+r^2=5+2√10+2, √5√2+√7=r^2 /2 - рациональное,
противоречие, аналогично случаю 1.

Таким образом √7 -(√5+√2) - иррациональное

Answer 2

√7-√5-√2 Значение этой суммы является иррациональным так как оно несократимо, и содержит в себе иррациональные слагаемые

Answer 3

Чтобы доказать, что выражение √(5+2) - (√5 + √2) является иррациональным числом, необходимо предположить обратное, то есть, что это число является рациональным, и привести это предположение к противоречию.

Допустим, что выражение √(5+2) - (√5 + √2) является рациональным числом и обозначим его как q. Тогда мы можем записать:

√(5+2) - (√5 + √2) = q

Перенесем одно слагаемое на другую сторону:

√(5+2) - q = √5 + √2

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√(5+2) - q)^2 = (√5 + √2)^2

5+2 - 2q√(5+2) + q^2 = 5 + 2√10 + 2

Упрощаем:

q^2 - 2q√7 - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно q. Так как мы предположили, что q является рациональным числом, то оно должно иметь рациональный корень. Но в этом уравнении корень является иррациональным числом √7. Это противоречие с предположением, что q является рациональным числом. Следовательно, наше начальное предположение было неверным, и выражение √(5+2) - (√5 + √2) является иррациональным числом.