Question

Построить и исследовать функцию: у= х^2+5/x-1

Answer 1

файл

-------------------------------

Answer 2

Для начала построим график функции, чтобы получить представление о ее поведении:

Теперь проанализируем основные свойства этой функции:

1. Область определения

Функция определена для всех значений переменной x, кроме x = 1 (так как в знаменателе находится выражение x - 1).

2. Знак функции

При x < 1 функция положительна, так как в числителе стоит квадрат положительного числа, а в знаменателе отрицательное число (x - 1), что дает отрицательное значение знаменателя и положительное значение всей дроби. При x > 1 функция отрицательна, так как знаки числителя и знаменателя разные. В точке x = 1 функция не определена.

3. Нули функции

Найдем нули функции, приравняв ее к нулю:

x^2 + 5/(x-1) = 0

x^3 - x^2 + 5 = 0

Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому нули функции нельзя найти аналитически. Однако графически можно заметить, что функция не имеет нулей.

4. Точки пересечения с осями координат

Найдем точки пересечения функции с осями координат, приравняв ее к нулю и решив уравнение:

y = 0:

x^2 + 5/(x-1) = 0

x^3 - x^2 + 5 = 0

Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому пересечений с осью x нет. Для пересечения с осью y подставим x = 0:

y = 0^2 + 5/(0-1) = -5

Точка пересечения с осью y имеет координаты (0, -5).

5. Экстремумы функции

Найдем производную функции:

y' = 2x - 5/(x-1)^2

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

2x - 5/(x-1)^2 = 0

2x(x-1)^2 - 5 = 0

2x^3 - 6x^2 + 4x - 5 = 0

Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому точки экстремума нельзя найти аналитически. Однако графически можно заметить, что функция имеет локальный минимум в точке x ≈ 1.8.

6. Асимптоты

Найдем вертикаль