Question

X^2+8x+19 докажите, что при любых значениях x выражение принимает положительные значения

Answer 1

выделить полный квадрат

х²+8х+19= х²+8х+16+3 =(х+4)²+3

(х+4)² ≥ 0 при любом значении х, значит и (х+4)²+3 > 0

Следовательно х²+8х+19 >0 при любых значениях х

Если  срочно  для себя,   то

х²+8х+19

D=64-76 = - 12<0

Дискриминант меньше 0,  значит выражение принимает положительное значение при любом значении х

Answer 2

Для доказательства, что выражение $x^2 + 8x + 19$ принимает положительные значения при любых значениях $x$, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата.

Рассмотрим данное выражение: $x^2 + 8x + 19$

Для завершения квадрата, добавим и вычтем $16$ внутри скобки, которая содержит квадратное слагаемое $8x$:

$x^2 + 8x + 16 - 16 + 19$

Мы можем переписать это выражение следующим образом:

$(x^2 + 8x + 16) - 16 + 19$

Теперь выражение $x^2 + 8x + 16$ может быть записано в виде квадрата бинома:

$(x + 4)^2 - 16 + 19$

Упростим это выражение:

$(x + 4)^2 + 3$

Теперь мы видим, что у нас есть квадратный трехчлен $(x + 4)^2$, который всегда будет неотрицательным. Плюс постоянное слагаемое $3$.

Так как квадратный трехчлен всегда неотрицателен, а $3$ также положительно, то выражение $(x^2 + 8x + 19)$ будет принимать положительные значения при любых значениях $x$.