Question

Найти экстремумы функции y=2x^2+3x+4

Answer 1

Решение
y=2x^2+3x+4
y` = 4x + 3
4x + 3 = 0
4x = - 3
x = - 3/4
  
        -                          +     
--------------------*----------------->
                      -3/4
При переходе через точку (-3/4) производная меняет знак с "-" на "+".
 Значит точка (-3/4) - точка  минимума

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции y = 2x^2 + 3x + 4, мы сначала вычислим её производную и найдём значения x, при которых производная равна нулю. Затем проверим, являются ли эти значения минимумами или максимумами.

1. Вычисление производной: y' = d/dx (2x^2 + 3x + 4) = 4x + 3

2. Нахождение значений x, при которых производная равна нулю: 4x + 3 = 0 4x = -3 x = -3/4

3. Определение типа экстремума: Для определения типа экстремума мы можем проанализировать знак производной в окрестности найденной точки.

3.1. Возьмём значение x, меньшее -3/4, например, x = -1: Подставим x = -1 в производную: 4(-1) + 3 = -4 + 3 = -1 (отрицательное значение) Значит, в окрестности x = -1 производная отрицательна, и функция убывает.

3.2. Возьмём значение x, большее -3/4, например, x = 0: Подставим x = 0 в производную: 4(0) + 3 = 3 (положительное значение) Значит, в окрестности x = 0 производная положительна, и функция возрастает.

Из анализа производной видно, что функция имеет минимум в точке x = -3/4.

4. Вычисление значения y в найденной точке: Подставим x = -3/4 в исходную функцию: y = 2(-3/4)^2 + 3(-3/4) + 4 = 2(9/16) - 9/4 + 4 = 9/8 - 9/4 + 4 = 9/8 - 18/8 + 32/8 = 23/8

Итак, экстремум функции y = 2x^2 + 3x + 4 находится в точке (-3/4, 23/8), и является минимумом.