Question

Задача с параметрами. Пусть O - начало системы координат OXY. При каких значениях параметров a и b верщины парабол y=x^2+ax и y=-x^2-8x+b будут лежать на одной прямой, проходящей через точку O, и находиться на равном расстоянии от этой точки?

Answer 1

Если прямая проходит через центр и вершины этих парабол лежат на прямой на равном расстоянии от точки О,то вершины обоих парабол будут иметь одинаковые координаты.Значит,Хв1=Хв2,Ув1=Ув2
вершина у=-x^2-8x+b равна 8/-2=-4
значит и вершина у=х^2+ах равна -4,откуда
а=-4×-2=8
при Хв=-4 (график у=х^2+ах) Ув1=(-4)^2-8×4=-16
А так как Ув1=Ув2 то -х^2-8х+b=-16
Подставим Хв=-4
-(-4)^2-8×(-4)+b=-16
-16+32+b=-16
Откуда b=-32
Ответ:а=8 b=-32

Answer 2

Чтобы вершины парабол лежали на одной прямой, проходящей через точку O, и находились на равном расстоянии от этой точки, необходимо, чтобы обе параболы имели одинаковое расстояние от точки O и одинаковый наклон (направление) ветвей парабол.

1. Расстояние между вершиной параболы и точкой O равно модулю координаты Y вершины параболы. Так как O - начало координат, это расстояние равно |a|.

2. Наклон ветвей параболы определяется коэффициентом при x^2. Для обеих парабол этот коэффициент должен быть равен 1.

Таким образом, для заданных парабол y = x^2 + ax и y = -x^2 - 8x + b, чтобы их вершины лежали на одной прямой через точку O и находились на равном расстоянии от O, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. |a| равно расстоянию от точки O до вершины первой параболы: |a| = |0^2 + 0a| = |0| = 0.

2. Обе параболы имеют одинаковый наклон, коэффициенты при x^2 равны: 1 = 1.

Таким образом, значения параметров a и b не имеют значения, а параболы будут лежать на одной прямой, проходящей через точку O и находиться на равном расстоянии от этой точки при любых значениях a и b.