Question

1.Помогите,пожалуйста,с подробным решением!! Сократите дробь: 16 - b2  b2 - b - 12 2.Разложите на множители квадратный трехчлен: а) 2х2 - 5х +3; б) 5у2 +2у - 3; в) 3х2 - 24х + 21;г) -2х2 +5х +7; д) 3b2 +5b - 2; е) -m2 +5m - 6. 3. Можно ли представить квадратный трехчлен в виде произведения многочленов первой степени:  а) х2 - 7х +12; б) 4b2 - 9b +7; в) 3у2 - 12у +12?  Если это возможно, то представьте квадратный трехчлен в виде произведения многочленов первой степени.

Answer 1

Сверху разность квадратов, снизу стандартное разложение на множители ах²+bx+c= a(x-x1)(x-x2) где х1 и х2 корни уравнения  ах²+bx+c= 0 получаем
$\frac{(4-b)(4+b)}{(b-4)(b+3)} =- \frac{4+b}{b+3}$

2) a) d=25-4*3*2=1  x1=(5+1)/4=3/2  x2=(5-1)/4=1
        2x²-5x+3=2(x-3/2)(x-1)
б) d=4+4*3*5=64   y1=(-2+8)/10=0,6  y2=(-2-8)/10=-1
        5y²+2y-3=5(y-0,6)(y+1)
в) d=64-4*7=36   x1=(8+6)/2=7   x2=(8-6)/2=1
         3x²-24x+21=3(x-7)(x-1)
г)  d=25+4*2*7=81  x1=(-5+9)/(-4)=-1  x2=(-5-9)/(-4)=3,5
         -2x²+5x+7=-2(x+1)(x-3,5)      
д)  d=25+4*2*3=49  b1=(-5+7)/6=1/3  b2=(-5-7)/6=-2
          3b²+5b-2=3(x-1/3)(x+2)
e)  d=25-4*6=1  m1=(-5+1)/(-2)=2  m2=(-5-1)/(-2)=3
          -m²+5m-6=-(m-2)(m-3)

3) a)  d=49-48=1>0 ⇒x1=(7-1)/2=3  x2=(7+1)/2=4 ⇒ x²-7x+12=(x-3)(x-4)

б)  d=81-4*4*7=-31<0 разложение невозможно
в)  3y²-12y+12=3(y²-4y+4)= формула=3(y-2)²

Answer 2

1. Для сокращения дроби необходимо провести операцию деления сокращаемого на сокращающийся множитель. В данном случае мы имеем следующую дробь:

$\frac{{16 - b^2}}{{b^2 - b - 12}}$

Для начала раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{{(4 + b)(4 - b)}}{{(b - 4)(b + 3)}}$

Затем выражения $(4 + b)$ и $(b - 4)$ сократятся, получившийся результат:

$\frac{{4 - b}}{{b + 3}}$

2. Разложение на множители квадратных трехчленов:

а) $2x^2 - 5x + 3$

Для разложения данного трехчлена сначала проверим, существуют ли его целочисленные корни. Подставим в трехчлен значение $x = 1$:

$2(1)^2 - 5(1) + 3 = 0$

Получаем, что $x = 1$ является корнем трехчлена. Теперь применим синтетическое деление для деления трехчлена на $(x - 1)$:

$$\begin{array}{c|ccc} & 2x^2 & -5x & +3 \\ \hline x - 1 & 2x^2 & -2x & \\ & - (2x^2) & +2x^2 & \\ \hline & 0 & 0 & +3 \\ & & & - (3) \\ \hline & & & 0 \\ \end{array}$$

Результатом синтетического деления является трехчлен $2x - 3$. Таким образом, квадратный трехчлен $2x^2 - 5x + 3$ разлагается на множители в виде $(x - 1)(2x - 3)$.

б) $5y^2 + 2y - 3$

В данном случае трехчлен не имеет целочисленных корней. Мы можем попробовать разложить его с помощью квадратного трехчлена вида $(ay + b)(cy + d)$. Путем раскрытия скобок и сравнения коэффициентов получим систему уравнений:

$$\begin{cases} ac = 5 \\ ad + bc = 2 \\ bd = -3 \\ \end{cases}$$

Решая эту систему, мы найдем $a = 1$, $b = -3$, $c = 5$, $d = -1$. Таким образом, разложение трехчлена будет выглядеть следующим образом: $(y + 1)(5y - 3)$.

в) (3x^2