Question

Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение ||4-x^2|-b+7|=2 имеет ровно 5 корней. Если таких значений a больше одного, то в ответе укажите наибольшее из них.

Answer 1

y=||4-x^2|-b+7|     
1)При  -2<=x<=2   y=|-(x^2+b-11)|     
2) При (-oo;-2) U (2;+oo)  y=|x^2-b+3|    
Откуда решения  
1)
 |-(x^2+b-11)|=2     
 При x E [-2;2]  
 Решения  
 x=+-√(9-b)  x=+-√(13-b)  
  
2) 
  |x^2-b+3|=2   
 При  x E (-oo;-2) U (2;+oo) 
 Решения 
 x=+-√(b-1)  x=+-√(b-5)  
 
 1) 
 -2<=√(9-b)<=2  -2<=-√(9-b)<=2    
 Откуда совместное решение 
 5<=b<=9   
 Так же для второго   
 9<=b<=13 
 
То есть при b=9 решения первого уравнения (3 корня), при b=13 (1 корень) это и наибольшее число , так как второе уравнение при 
 x E (-oo;-2) U (2;+oo) будет иметь 4 решения при b=13 
 
Значит ответ b=13 

Answer 2

Дано уравнение ||4 - x^2| - b + 7| = 2. Для начала заметим, что выражение ||4 - x^2| - b + 7| всегда неотрицательно, поэтому можно избавиться от внешней абсолютной величины и рассмотреть два случая:

1. Выражение внутри абсолютной величины равно 2: |4 - x^2| - b + 7 = 2.
2. Выражение внутри абсолютной величины равно -2: |4 - x^2| - b + 7 = -2.

Рассмотрим каждый из случаев по отдельности:

1. |4 - x^2| - b + 7 = 2: a) Если 4 - x^2 ≥ 0, то уравнение принимает вид (4 - x^2) - b + 7 = 2. Решим это уравнение: 4 - x^2 - b + 7 = 2, -x^2 - b + 11 = 0, x^2 + b - 11 = 0.

   Это квадратное уравнение, и чтобы имелось 5 корней, оно должно иметь два различных действительных корня и один действительный корень кратности 3. Квадратное уравнение x^2 + b - 11 = 0 имеет два действительных корня, поэтому оно может иметь один корень кратности 3, если дискриминант равен 0. Дискриминант D равен: D = 0^2 - 4 * 1 * (b - 11) = -4b + 44. Уравнение D = 0 превращается в -4b + 44 = 0. Решая это уравнение, найдем значение b: -4b + 44 = 0, -4b = -44, b = -44 / -4, b = 11.

   b = 11 - это одно из значений b, при котором уравнение имеет ровно 5 корней.

   b = 11 является единственным значением, при котором уравнение имеет 5 корней.

2. |4 - x^2| - b + 7 = -2: a) Если 4 - x^2 ≥ 0, то уравнение принимает вид (4 - x^2) - b + 7 = -2. Решим это уравнение: 4 - x^2 - b + 7 = -2, -x^2 - b + 9 = 0, x^2 + b - 9 = 0.

   Подобно предыдущему случаю, чтобы уравнение имело 5 корней, оно должно иметь два различ