Question

При каких значениях а дробь (√а-√5)/(а-5) принимает наибольшее значение

Answer 1

Упростим сначала дробь
$\frac{ \sqrt{a}- \sqrt{5} }{a-5} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{5} }{(\sqrt{a}- \sqrt{5} )\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{5} )} = \frac{1}{\sqrt{a}+ \sqrt{5} }$
дробь принимает наибольшее значении, если знаменатель принимает наименьшее значение
т.к. корень всегда неотриц. число, значит наименьшее значение знаменателя достигается при а=0

Answer 2

Для того, чтобы найти значения, при которых данная дробь принимает наибольшее значение, нужно найти ее производную по переменной "а" и приравнять ее к нулю:

d/dа [(√a-√5)/(a-5)] = [(1/2√a) * (a-5) - (√a-√5)/(a-5)^2]

Далее нужно решить уравнение:

(1/2√a) * (a-5) - (√a-√5)/(a-5)^2 = 0

Упрощая выражение и приводя подобные слагаемые к общему знаменателю, получим:

(a-5) - 2(√a-√5) = 0

a - 5 - 2√a + 2√5 = 0

a - 2√a = 5 - 2√5

Выражая "a" через "√a", получаем:

(√a)^2 - 2√a + (2√5 - 5) = 0

Решая квадратное уравнение, получим:

√a = (2 ± √16 - 4(2√5 - 5))/2

√a = (2 ± √-24 + 20)/2

√a = 1 ± √6i

Так как "a" должно быть действительным числом, то наибольшее значение дроби достигается при:

a = (1 + √6i)^2 = 1 + 2√6i - 6i

или

a = (1 - √6i)^2 = 1 - 2√6i - 6i