Question

Составить и решить уравнение f'(x)=g'(x), если f(x)=sin^2x g(x)=cosx+cosП/12

Answer 1

Составить и решить уравнение
f'(x)=g'(x), если f(x)=sin²x,  g(x)=cosx+cos(π/12) .
-------------------------------
f(x)=sin² x ;
f ' (x)=(sin² x) ' =2sinx*(sinx) ' = 2sinx*cosx  ;
g(x)=cosx+cos(π /12) ;
g '(x)=( cosx+cos(π/12) )' = (cosx) '+ (cos(π/12)) ' = -sinx .                                      * * *cos(π/12)_ величина постоянная  ⇒ производная нуль * * *
f ' (x) = g ' (x) ;
2sinx*cosx = -sinx ;
2sinx*cosx +sinx  =0 ;
2sinx(cosx +1/2) =0 ⇔ [sinx = 0 ;  cosx +1/2 =0 .
 a)
 sinx =0 ;
x =π*n , n ∈ Z
b)
  cosx +1/2 =0 ;
cosx = - 1/2  ;
x =   ±(π -π /3) +2πk , k ∈ Z  ;
x =   ±2π /3 +2πk , k ∈ Z   ;

ответ :    π*n , n ∈ Z   и    ±2 π  /3 +2πk , k ∈ Z .
-------------------
Удачи  Вам !

Answer 2

Для начала найдем производные функций f(x) и g(x):

f(x) = sin^2(x) f'(x) = 2sin(x)cos(x) (производная произведения функций)

g(x) = cos(x) + cos(П/12) g'(x) = -sin(x) - 0 (производная константы равна нулю)

Теперь составим и решим уравнение f'(x) = g'(x):

2sin(x)cos(x) = -sin(x)

Разделим обе части на sin(x):

2cos(x) = -1

Выразим cos(x):

cos(x) = -1/2

Зная, что cos(x) = -1/2 при x = 2П/3 + 2Пk и x = 4П/3 + 2Пk (где k - целое число), получим два решения уравнения.

Таким образом, решениями уравнения f'(x) = g'(x) будут значения:

x₁ = 2П/3 + 2Пk x₂ = 4П/3 + 2Пk,

где k - целое число.