Question

Найти интеграл ∫(3х+5/х^2 -9x +1)dx

Answer 1

$\int \frac{3x+5}{x^2-9x+1}dx=\int \frac{3x+5}{(x-\frac{9}{2})^2-\frac{77}{4}}dx=[t=x-\frac{9}{2},x=t+\frac{9}{2},dx=dt]=\\\\=\int \frac{3t+\frac{37}{2}}{t^2-\frac{77}{4}}dt=\frac{3}{2}\int\frac{2t\, dt}{t^2-\frac{77}{4}}dt+\frac{37}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{77}{4}}=\\\\=\frac{3}{2}\cdot ln|t^2-\frac{77}{4}|+\frac{37}{2}\cdot \frac{2}{2\cdot \sqrt{77}}\cdot ln|\frac{t-\frac{\sqrt{77}}{2}}{t+\frac{\sqrt{77}}{2}}|+C=$

$=\frac{3}{2}ln|x^2-9x+1|+\frac{37}{2\sqrt{77}}\cdot ln|\frac{2x-9-\sqrt{77}}{2x-9+\sqrt{77}}|+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла ∫(3x + 5)/(x^2 - 9x + 1) dx, можно воспользоваться методом частичных дробей.

Сначала проведем факторизацию знаменателя x^2 - 9x + 1. Решим квадратное уравнение x^2 - 9x + 1 = 0:

x^2 - 9x + 1 = 0

Используя квадратное уравнение, найдем корни:

x = (9 ± √(9^2 - 411)) / 2

x = (9 ± √(81 - 4)) / 2

x = (9 ± √77) / 2

Корни уравнения равны (9 + √77) / 2 и (9 - √77) / 2.

Теперь разложим дробь на простые члены:

(3x + 5) / (x^2 - 9x + 1) = A / (x - (9 + √77) / 2) + B / (x - (9 - √77) / 2)

Найдем значения коэффициентов A и B, умножив обе части равенства на знаменатели:

3x + 5 = A(x - (9 + √77) / 2) + B(x - (9 - √77) / 2)

Теперь найдем A и B:

Подставим x = (9 + √77) / 2:

3 * (9 + √77) / 2 + 5 = A * ((9 + √77) / 2 - (9 + √77) / 2) + B * ((9 + √77) / 2 - (9 - √77) / 2)

(27/2 + 3√77/2 + 10)/2 = 0 + B * √77

27/2 + 3√77/2 + 10 = B * √77

B = (27 + 6√77 + 20) / (2√77)

B = (47 + 6√77) / (2√77)

B = (47 + 6√77) / (2√77) * (√77 / √77)

B = (47√77 + 6 * 77) / (2 * 77)

B = (47√77 + 462) / 154

Подставим x = (9 - √77) / 2:

3 * (9 - √77) / 2 + 5 = A * ((9 - √77) / 2 - (9 + √77) / 2) + B * ((9 - √77) / 2 - (9 - √77) / 2)

(27/2 - 3√77/2 + 10)/2 = A * (-√77) + 0

(27/2 - 3√77/2 + 10)/2 = -A√77

27/4 - 3√77/4 + 5/2 = -A