Question

Представьте в виде произведения : Cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x =

Answer 1

Решение в приложении:

Answer 2

Можно преобразовать данное выражение, используя тригонометрические тождества. В частности, можно воспользоваться формулой суммы косинусов:

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Применяя ее, получим:

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = cos x + cos 2x + (cos 6x cos x - sin 6x sin x) + (cos 6x cos x - sin 6x sin x) = cos x + 2cos 2x + 2cos 6x cos x - 2sin 6x sin x

Заметим, что последнее слагаемое равно -2sin(6x + x) = -2sin 7x. Подставим это обратно в выражение:

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = cos x + 2cos 2x + 2cos 6x cos x + 2sin 7x = (cos x + 2sin 7x) + 2cos 2x + 2cos 6x cos x

Теперь воспользуемся формулой произведения косинусов:

cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a - b) + cos(a + b))

Применяя ее, получим:

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = (cos x + 2sin 7x) + cos(2x) + cos(6x + x) + cos(6x - x) = (cos x + 2sin 7x) + cos 2x + cos 6x cos x - cos 5x cos x

Еще раз воспользуемся формулой произведения косинусов, чтобы выразить два последних слагаемых через сумму косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2)

Получаем:

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = (cos x + 2sin 7x) + cos 2x + 2cos(7x + x)/2 cos(7x - x)/2 - 2cos(5x + x)/2 cos(5x - x)/2 = (cos x + 2sin 7x) + cos 2x + cos 4x - cos 6x - cos 4x + cos 2x = cos x + 2sin 7x - cos 6x

Таким образом, мы получили, что:

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = cos x + 2sin 7x - cos 6x

или, иначе говоря,

cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = (cos x - cos 6x) + 2sin 7x.

Таким образом, искомое выражение может быть представлено в виде:

cos x + cos 2