Question

Выяснить, является ли группой относительно операции сложения, заданной в множестве целых чисел, множество всех целых чисел, кратных числу 11

Answer 1

множество непустое очевидно (есть элементы 0,11, и т.д.)

результат действия сложения дает число кратное 11 (замкнутость множества выполняется)

 

асоциативность выполянется

(a+b)+c=a+(b+c) (очевидно следует из ассоциативности целых чисел)

присуствует нейтральный елемент число 0

а+0=0+а=а

для каждого числа существует обратный

для числа обратный элемент -а

 

по определению ттако множество есть группа

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли множество всех целых чисел, кратных числу 11, группой относительно операции сложения, мы должны проверить выполнение всех трех основных свойств группы: замкнутость, ассоциативность и наличие нейтрального элемента.

1. Замкнутость: Для проверки замкнутости, нужно убедиться, что результат сложения двух целых чисел, кратных 11, также будет являться целым числом, кратным 11.

Пусть a и b - два целых числа, кратных 11. Тогда a = 11n и b = 11m, где n и m - целые числа. Сумма a + b = 11n + 11m = 11(n + m), которая также является целым числом, кратным 11. Таким образом, множество всех целых чисел, кратных 11, замкнуто относительно операции сложения.

2. Ассоциативность: Для проверки ассоциативности, нужно убедиться, что для любых трех целых чисел, кратных 11 (a, b и c), выполнено равенство (a + b) + c = a + (b + c).

Пусть a = 11n, b = 11m и c = 11k, где n, m и k - целые числа. Тогда (a + b) + c = (11n + 11m) + 11k = 11(n + m) + 11k = 11(n + m + k). Также a + (b + c) = 11n + (11m + 11k) = 11n + 11(m + k) = 11(n + m + k). Мы видим, что (a + b) + c = a + (b + c), и операция сложения ассоциативна.

3. Нейтральный элемент: Нейтральный элемент в группе относительно операции сложения обычно обозначается нулем (0). Чтобы множество всех целых чисел, кратных 11, имело нейтральный элемент, должно существовать такое целое число, кратное 11, что сумма этого числа с любым другим числом из множества дает в результате само это число.

Пусть a = 11n, где n - целое число. Тогда a + 0 = 11n + 0 = 11n. Мы видим, что 11n равно исходному числу a, и нейтральный элемент 0 существует в множестве всех целых чисел, кратных 11.

Итак, по результатам проверки всех