Question

Очень срочно нужно xy"+y'=0 И y"+y+ctg^2 x=0

Answer 1

Смотри приложенный файл

Answer 2

У вас даны два уравнения:

1. xy" + y' = 0
2. y" + y + ctg^2(x) = 0

Давайте решим их поочередно.

Решение уравнения 1) xy" + y' = 0:

Для начала введем новую переменную u = y'. Тогда уравнение примет вид: xu' + u = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем xu' на одну сторону и разделим на u: xu' = -u u'/u = -1/x.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: ln|u| = -ln|x| + C, где C - постоянная интегрирования.

Применяя экспоненту к обеим частям, получаем: |u| = e^(C)/|x|. Обозначим e^C как K, где K - некоторая константа.

Теперь рассмотрим два случая:

1. u > 0: y' = u = K/x y = K ln|x| + D1, где D1 - постоянная интегрирования.

2. u < 0: y' = u = -K/x y = -K ln|x| + D2, где D2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, решение уравнения 1) имеет вид: y = A ln|x| + B, где A = K, если u > 0, и A = -K, если u < 0, а B = D1, если u > 0, и B = D2, если u < 0.

Теперь решим уравнение 2) y" + y + ctg^2(x) = 0:

Данное уравнение не имеет простого аналитического решения в виде элементарных функций. Однако, можно попытаться найти его решение в виде степенного ряда.

Предположим, что y имеет вид: y = ∑(n=0 to ∞) a_n x^n.

Тогда вычислим первые и вторые производные y: y' = ∑(n=1 to ∞) na_n x^(n-1), y" = ∑(n=2 to ∞) n(n-1)*a_n x^(n-2).

Подставим эти выражения в уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: ∑(n=2 to ∞) n*(n-1)*a_n x^(n-2) + ∑(n=0 to ∞) a_n x^n + ctg^2(x) = 0.

Учтем, что ctg(x) = cos(x)/sin(x) и разложим cos(x) и sin(x) в р