Question

424. Разложите на множители а³-9а²+27а-19 Объясните ход решения

Answer 1

Есть такая формула ФСУ под названием куб разности:
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2*b + 3ab^2 - b^3
Смотрим на выражение:
a^3-9a^2+27a-19 = a^3 - 3*a^2*3 + 3*a*9 - 19
Чтобы свернуть в формулу, необходимо чтобы последний член выражения был равен -27 (3^3). Вычтем и прибавим это число:
a^3 - 3*a^2*3 + 3*a*9 - 19 - 27 + 27 = (a-3)^3 -19+27 = (a-3)^3+8
Получили формулу суммы кубов (8=2^3), упрощаем:
(a-3+2)((a-3)^2-2(a-3)+4)) = (a-1)(a^2-6a+9-2a+6+4) = (a-1)(a^2-8a+19)

Answer 2

Для разложения многочлена на множители нам нужно найти его корни. Для этого можно воспользоваться методом подстановки значений и проверки, начиная с простых чисел.

Для данного многочлена a³ - 9a² + 27a - 19 начнем с подстановки значения а = 1: (1)³ - 9(1)² + 27(1) - 19 = 1 - 9 + 27 - 19 = 0.

Таким образом, а = 1 является корнем многочлена. Значит, (a - 1) является одним из множителей.

Для того чтобы найти остальные множители, разделим исходный многочлен на (a - 1) с помощью деления с остатком или синтетического деления:

cssCopy code
      a² + 8a + 19
________________________

a - 1 | a³ - 9a² + 27a - 19 - (a³ - a²) _________________ -8a² + 27a - (-8a² + 8a) _________________ 19a - 19 - (19a - 19) _________________ 0

Таким образом, получаем разложение многочлена a³ - 9a² + 27a - 19 на множители: a³ - 9a² + 27a - 19 = (a - 1)(a² + 8a + 19).

Полученное выражение a³ - 9a² + 27a - 19 разложено на множители, исходя из найденного корня а = 1 и с использованием синтетического деления для определения остальных множителей.