Question

Найдите наименьшее значение функции y=x3−x2−8x+4 на отрезке [1;7].

Answer 1

Y'=3x^2-2x-8
y'=0
x=1/3*(1+-√(1+24))=1/3*(1+-5)
x1=2
x2=-4/3 не принадлежит промежутку
y(1)=1-1-8+4=-4
y(2)=8-4-16+4=-8 наименьшее
y(7)=343-49-56+4=242

Answer 2

$y=x^{3}-x^{2}-8x+4 y'=3x^{2}-2x-8 y'=0 3x^{2}-2x-8=0 D=(-2)^{2}-4*3*(-8)=4+96=100 x_{1}=2+10/6=2 x_{2}=2-10/6=-8/6 y(2)=2^{3}-2^{2}-8*2+4=8-4-16+4=-8 y(1)=1^{3}-1^{1}-8*1+4=-4 y(7)=7^{3}-7^{2}-8*7+4=343-49-56+4=242 y_{[1;7]}min=(-8)$

Смотри выше, когда нашла дискриминант, там получилось 2 корня (2 и -8/6)
Экстремум 2 принадлежит промежутку [1;7], поэтому мы его учитываем.
А (-8/6) не принадлежит промежутку [1;7], поэтому мы его не пишем.
Там нужно будет сделать такую запись:

x=2∈ [ 1;7]
x=(-8/6) ∉ [1;7]
ВСЕ))))

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции y = x^3 - x^2 - 8x + 4 на отрезке [1, 7], следует проанализировать значения функции в концах отрезка и в его критических точках.

1. Найдем значения функции в концах отрезка: При x = 1: y = 1^3 - 1^2 - 8(1) + 4 = -4. При x = 7: y = 7^3 - 7^2 - 8(7) + 4 = 124.

2. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: y = x^3 - x^2 - 8x + 4. y' = 3x^2 - 2x - 8. Для нахождения корней этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта: D = (-2)^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100. x = (-(-2) ± √100) / (2(3)). x = (2 ± 10) / 6. x1 = (2 + 10) / 6 = 12 / 6 = 2. x2 = (2 - 10) / 6 = -8 / 6 = -4/3.

3. Оценим значения функции в найденных критических точках: При x = 2: y = 2^3 - 2^2 - 8(2) + 4 = -2. При x = -4/3: y = (-4/3)^3 - (-4/3)^2 - 8(-4/3) + 4 ≈ -7.037.

Таким образом, наименьшее значение функции y = x^3 - x^2 - 8x + 4 на отрезке [1, 7] равно -7.037 и достигается при x = -4/3.