Question

Докажите, что при любом натуральном n: 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(2n+1))/(3)

Answer 1

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$
Докажем методом математической индукции:
 1) Шаг индукции: проверим, достигается ли равенство при n = 1.
$1(1 + 1) = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3}$
$2 = \frac{6}{3}$
$2 = 2$

2) Пусть при n = k равенство выполняется:
$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$  $(1)$

3) Шаг индукции: докажем, что при  $n = k + 1$ равенство также верно:
$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) + (k+1)(k + 2) =$  $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$  $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - (k+1)(k +2)$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$ $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} - \frac{3(k+1)(k +2)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$  $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 3(k+1)(k +2)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) =$ =  $\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3 - 3)}{3}$

$1*2 + 2*3 + 3*4 +...+(k + 1)(k + 2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$

Мы пришли к равенству  $(1)$, которое предполагало, что при любом  $n = k$, n ∈ N равенство верно. Значит, оно верно для любого n, n ∈ N.

Answer 2

Доказательство проведем по индукции.

Шаг базы: При n = 1, левая и правая части равенства принимают следующие значения: Левая часть: 1 * 2 = 2 Правая часть: (1 * (1 + 1) * (2 * 1 + 1)) / 3 = (2 * 3) / 3 = 2 Левая и правая части равны при n = 1.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть: 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + k(k + 1) = (k(k + 1)(2k + 1)) / 3

Теперь докажем, что утверждение верно и для n = k + 1: 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = [(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)] / 3

Разделим это равенство на 3 и запишем его в виде: (1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ... + k(k + 1)) / 3 + (k + 1)(k + 2) = [(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)] / 3

По предположению индукции, первое слагаемое на левой стороне равно (k(k + 1)(2k + 1)) / 3. Подставим это значение в уравнение: (k(k + 1)(2k + 1)) / 3 + (k + 1)(k + 2) = [(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)] / 3

Для удобства записи воспользуемся факторизацией: (k + 1)([k(2k + 1) / 3] + k + 2) = [(k + 1)(k + 2)(2k + 3)] / 3

Теперь сократим на (k + 1) с обеих сторон: ([k(2k + 1) / 3] + k + 2) = (k + 2)(2k + 3) / 3

Упростим левую и правую стороны уравнения: k(2k + 1) / 3 + 3(k + 2) / 3 = (2k^2 + 3k + 4k + 6) / 3 (k(2k + 1) + 3k + 6) / 3 = (2k^2 + 7k + 6) / 3 (k(2k + 1) + 3k + 6) = 2k^2 + 7k + 6

Раскроем скоб