Question

Найти значение (b-1/b)^2 если (b+1/b)^2=8

Answer 1

$\left(b+ \frac{1}{b}\right)^2=8$

$b^2+2 \cdot b \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b^2}=8$

$b^2+2 + \frac{1}{b^2}=8$

$b^2+\frac{1}{b^2}=8-2$

$b^2+ \frac{1}{b^2}=6$

$\left(b- \frac{1}{b}\right)^2=b^2-2 \cdot b \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{b^2}=$

$b^2-2+ \frac{1}{b^2}=6-2=4$

Answer 2

Дано: $(b+\frac{1}{b})^2 = 8$

Мы можем раскрыть квадрат слева:

$(b+\frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2} = 8$

Теперь заменим $x = b^2$:

$x + 2 + \frac{1}{x} = 8$

Умножим все члены уравнения на $x$ чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 2x + 1 = 8x$

Перепишем уравнение в виде квадратного:

$x^2 - 6x + 1 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36-4}}{2}$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$

$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$x = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Теперь заменим обратно $x = b^2$:

$b^2 = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Возьмем только положительный корень, так как $b$ является положительным числом:

$b = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$

Теперь найдем значение $(b - \frac{1}{b})^2$:

$(b - \frac{1}{b})^2 = (\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}})^2$

Нам понадобится рационализация знаменателя:

$\frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}$