Question

1.Найти производные первого и второго порядка y= x^{3} e^{-x} 2.Вычислить интегралы: а)∫(4+√х)^2*dx; б)∫(lnxdx/x)

Answer 1

1. y' = 3x²e^(-x) - x³e^(-x) = e^(-x)(3x²-x³)
y'' = (6x-3x²)e^(-x) - e^(-x)(3x²-x³) = e^(-x)(x³-6x²+6x)

2. a) ∫(16 + x + 8√x)dx = 16x + x²/2 + 16x√x/3 + C
b) ∫(lnx/x)dx = ∫lnx dlnx = ln²x/2 + C

Answer 2

1. Найдем производные первого и второго порядка для функции y = x^3 * e^(-x):

Первая производная: y' = (3x^2 * e^(-x)) + (x^3 * (-e^(-x))) = 3x^2 * e^(-x) - x^3 * e^(-x) = x^2 * e^(-x) * (3 - x)

Вторая производная: y'' = (2x * e^(-x) * (3 - x)) + (x^2 * e^(-x) * (-1)) = 2x * e^(-x) * (3 - x) - x^2 * e^(-x) = e^(-x) * (6x - 2x^2 - x^2) = e^(-x) * (6x - 3x^2)

2. Вычислим интегралы:

а) ∫(4 + √x)^2 * dx

Раскроем квадрат: ∫(16 + 8√x + x) * dx

Вычислим интеграл каждого слагаемого отдельно: ∫16 * dx = 16x

∫8√x * dx = (8/3) * (x^(3/2))

∫x * dx = (1/2) * x^2

Итоговый интеграл: ∫(4 + √x)^2 * dx = 16x + (8/3) * (x^(3/2)) + (1/2) * x^2 + C

б) ∫(ln(x) * dx) / x

Сделаем замену переменных: u = ln(x), du = (1/x) dx Тогда интеграл примет вид: ∫u * du = (1/2) * u^2 = (1/2) * (ln(x))^2 + C

Итоговый интеграл: ∫(ln(x) * dx) / x = (1/2) * (ln(x))^2 + C

где C - константа интегрирования.