Question

Решить уравнение: у''-2у=2х+3

Answer 1

Неоднородное уравнение 2 порядка.
1) решаем однородное.
y'' - 2y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 2 = 0
k1 = -√2; k2 = √2
y0 = C1*e^(-√2x)+ C2*e^(√2x)
Здесь корни только из 2, но не из x.
2) решаем неоднородное
y~ = Ax + B
y~ ' = A; y~ '' = 0
Подставляем в уравнение
0 - 2(Ax + B) = 2x + 3
y~ = Ax + B = -x - 3/2
3) решение
y(x) = y0 + y~ = C1*e^(-√2x) + C2*e^(√2x) - x - 3/2

Answer 2

Для решения данного уравнения можно использовать метод вариации постоянных. Допустим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + B, где A и B - некоторые константы.

Вычислим первую и вторую производные этого частного решения: y_p' = A, y_p'' = 0.

Подставим эти значения в исходное уравнение: 0 - 2(Ax + B) = 2x + 3.

Приведем подобные и получим: -2Ax - 2B = 2x + 3.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x. Для x^1: -2A = 2, A = -1.

Для свободного члена: -2B = 3, B = -3/2.

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p = -x - 3/2.

Теперь найдем общее решение однородного уравнения (уравнения без правой части): y'' - 2y = 0.

Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид: r^2 - 2 = 0.

Решим его: r^2 = 2, r = ±√2.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C1 * e^(√2 * x) + C2 * e^(-√2 * x),

где C1 и C2 - произвольные константы.

Таким образом, общее решение исходного уравнения выглядит следующим образом: y = y_h + y_p = C1 * e^(√2 * x) + C2 * e^(-√2 * x) - x - 3/2,

где C1 и C2 - произвольные константы.