Question

Доведіть тотожність: (a+b)²-(c+d)²+(a+c)²-(b+d)²=2*(a-d)(a+b+c+d)

Answer 1

.............................

Answer 2

Почнемо з лівої частини тотожності: (a+b)² - (c+d)² + (a+c)² - (b+d)²

Розгорнемо кожен квадрат: (a² + 2ab + b²) - (c² + 2cd + d²) + (a² + 2ac + c²) - (b² + 2bd + d²)

Скористаємося комутативністю та асоціативністю додавання для групування однакових термінів: (a² + a²) + (b² - b²) + (c² + c²) + (d² - d²) + 2ab - 2cd + 2ac - 2bd

За допомогою спрощення знаходимо: 2a² + 2c² + 2ab - 2cd + 2ac - 2bd

Тепер розглянемо праву частину тотожності: 2*(a-d)*(a+b+c+d)

Розкриємо дужки: 2*(a² + ab + ac + ad - ad - bd - cd - dd)

Скоротимо та спростимо вираз: 2*(a² + ab + ac - bd - cd)

Порівняємо ліву та праву частини тотожності: 2a² + 2c² + 2ab - 2cd + 2ac - 2bd = 2*(a² + ab + ac - bd - cd)

Отже, доведено тотожність: (a+b)² - (c+d)² + (a+c)² - (b+d)² = 2*(a-d)*(a+b+c+d)