Question

Освободите от внешнего радикала выражения: 1) √(10-2√21) 2) √(4+2√3) 3) √(9+4√5) 4 √(11-4√7)

Answer 1

$\sqrt{10-2 \sqrt{21} } = \sqrt{3-2 \sqrt{3}\cdot \sqrt{7}+7 } = \sqrt{( \sqrt{3} - \sqrt{7} )^2}=| \sqrt{3}- \sqrt{7} | =\\\\= \sqrt{7} - \sqrt{3} \\\\ \sqrt{4+2 \sqrt{3} } = \sqrt{(1+ \sqrt{3})^2 } =1+ \sqrt{3} \\\\ \sqrt{9+4 \sqrt{5} } = \sqrt{(2+ \sqrt{5})^2 } =2+ \sqrt{5} \\\\ \sqrt{11-4 \sqrt{7} } = \sqrt{( \sqrt{7}-2)^2 } = \sqrt{7}-2$

Answer 2

Давайте по очереди освободим от внешнего радикала выражения:

1. √(10-2√21):

Для освобождения от внешнего радикала нам потребуется умножить числитель и знаменатель на конъюгат (сопряженное выражение) внутреннего радикала.

У нас есть √21 внутри внешнего радикала, так что его конъюгат будет -√21.

Теперь умножим числитель и знаменатель на -√21:

√(10-2√21) * (√21 / √21) = (√(10-2√21) * √21) / √21 = √(21*(10-2√21)) / √21

Теперь раскроем скобки:

√(21*(10-2√21)) / √21 = √(210-42√21) / √21

Теперь можно сократить √21 в числителе и знаменателе:

√(210-42√21) / √21 = √(210/21 - 42√21/21) = √(10 - 2√21)

Таким образом, мы освободили выражение от внешнего радикала и получили исходное выражение √(10-2√21).

2. √(4+2√3):

Здесь внутри внешнего радикала у нас есть √3, так что его конъюгат будет -√3.

Умножим числитель и знаменатель на -√3:

√(4+2√3) * (√3 / √3) = (√(4+2√3) * √3) / √3 = √(3*(4+2√3)) / √3

Раскроем скобки:

√(3*(4+2√3)) / √3 = √(12+6√3) / √3

Мы не можем сократить √3 в данном случае, так что это будет итоговым выражением √(12+6√3).

3. √(9+4√5):

В данном случае у нас внутри внешнего радикала есть √5, поэтому его конъюгат будет -√5.

Умножим числитель и знаменатель на -√5:

√(9+4√5) * (√5 / √5) = (√(9+4√5) * √5) / √5 = √(5*(9+4√5)) / √5

Раскроем скобки:

√(5*(9+4√5)) / √5 = √(45+