Question

Покажите что последовательность заданная формулой общего члена является арифметической прогрессией и найдите S10: 1) An= 5n+3

Answer 1

А1=5*1+3=8; а2=5*2+3=13;  а3=5*3+3=18; Так как а3-а2=а2-а1=18-13=5. То есть разность прогрессии d=5. Теперь а10=а1+9*d=8+9*5=53. Сумма 10 первых членов равна  $S10=10* \frac{a1+a10}{2} =10* \frac{8+53}{2} =305.$.

Ответ: 305.

Answer 2

Для того чтобы показать, что последовательность заданная формулой общего члена является арифметической прогрессией, нам нужно проверить, что разность между любыми двумя последовательными членами константна.

В данном случае, общий член последовательности задан формулой An = 5n + 3.

Чтобы найти разность между двумя последовательными членами, вычислим значение An+1 - An:

A(n+1) - An = 5(n+1) + 3 - (5n + 3) = 5n + 5 + 3 - 5n - 3 = 5

Мы видим, что разность между любыми двумя последовательными членами равна 5. Таким образом, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью 5.

Теперь найдем сумму первых 10 членов последовательности (S10). Для арифметической прогрессии с известным первым членом (A1), разностью (d) и количеством членов (n), сумма первых n членов вычисляется по формуле:

Sn = (n/2)(2A1 + (n-1)d)

В нашем случае, A1 = 5*1 + 3 = 8 (подставляем n = 1 в формулу общего члена An) d = 5 (разность, которую мы вычислили ранее) n = 10 (количество членов, для которых мы хотим найти сумму)

Теперь подставим значения в формулу:

S10 = (10/2)(2*8 + (10-1)5) = 5(16 + 95) = 5(16 + 45) = 5(61) = 305

Таким образом, сумма первых 10 членов данной арифметической прогрессии равна 305.