Question

Найдите интервал возрастания функции y=-x(x-2)²

Answer 1

Ответ:

[2/3;2]

Объяснение:

$y=-x(x-2)^2=-x^{3}+4x^2-4x$

$y'=-3x^2+8x-4$

При возрастании функции $y'\geq 0$:

$-3x^2+8x-4\geq 0$

$x$∈ $[\frac{2}{3};2]$

Answer 2

Для найти интервалы возрастания функции y = -x(x - 2)², нам нужно проанализировать ее производную. Давайте найдем производную этой функции сначала:

y = -x(x - 2)²

Чтобы найти производную, мы можем использовать правило дифференцирования произведения и цепного правила:

dy/dx = -[(x - 2)² + 2x(x - 2)]

Упрощая выражение:

dy/dx = -[(x - 2)² + 2x² - 4x]

dy/dx = -[x² - 4x + 4 + 2x² - 4x]

dy/dx = -[3x² - 8x + 4]

Теперь мы можем найти точки, где производная равна нулю, чтобы определить, где функция изменяется.

0 = 3x² - 8x + 4

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение и получить два значения x:

x = (8 ± √(8² - 4 * 3 * 4)) / (2 * 3)

x = (8 ± √(64 - 48)) / 6

x = (8 ± √16) / 6

x = (8 ± 4) / 6

Таким образом, мы получаем два значения x: x₁ = 2 и x₂ = 4/3.

Теперь мы можем проверить интервалы между этими точками, чтобы определить, когда функция возрастает или убывает.

1. При x < 2: Выберем x = 0 (возьмем значение меньше 2), подставим его в производную и проверим знак:

dy/dx = -[3(0)² - 8(0) + 4] = -4

Таким образом, на интервале x < 2 функция y убывает.

2. При 2 < x < 4/3: Выберем x = 1 (значение между 2 и 4/3), подставим его в производную и проверим знак:

dy/dx = -[3(1)² - 8(1) + 4] = -3

На этом интервале функция y также убывает.

3. При x > 4/3: Выберем x = 2 (значение больше 4/3), подставим его в производную и проверим знак:

dy/dx = -[3(2)² - 8(2) + 4] = 4

Таким образом, на интервале x > 4/3 функция y возрастает.

Итак, интервал возрастания функции y = -x(x - 2)² равен x > 4/3.