Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=arcsin(x); y=-x; x=1

Answer 1

$S=\displaystyle \int\limits^0_{-1} {(-x-\arcsin x)} \, dx + \int\limits^1_0 {(x+\arcsin x)} \, dx =\\ \\ \\ =\bigg(- \frac{x^2}{2} -x\arcsin x- \sqrt{1-x^2} \bigg)\bigg|^0_{-1}+\bigg( \frac{x^2}{2} +x\arcsin x+ \sqrt{1-x^2} \bigg)\bigg|^1_0=\pi -1$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = arcsin(x), y = -x и x = 1, нужно найти точки их пересечения и определить границы интегрирования.

Сначала найдем точки пересечения линий:

1. Поставим y = arcsin(x) и y = -x в соотношение: arcsin(x) = -x

2. Подставим x = 1 в y = arcsin(x): y = arcsin(1) = π/2

Таким образом, точка пересечения первых двух линий равна (1, π/2).

Теперь найдем точку пересечения линий y = arcsin(x) и x = 1:

1. Подставим x = 1 в y = arcsin(x): y = arcsin(1) = π/2

Таким образом, точка пересечения последних двух линий также равна (1, π/2).

Итак, фигура ограничена следующими линиями: y = arcsin(x), y = -x и x = 1. Она представляет собой треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (1, π/2).

Теперь мы можем вычислить площадь этого треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * base * height

Основание треугольника равно 1 (расстояние между точками (0, 0) и (1, 0)). Высота треугольника равна π/2 (расстояние от точки (1, 0) до (1, π/2)).

Теперь подставим значения и вычислим площадь:

Площадь треугольника = (1/2) * 1 * (π/2) = π/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = arcsin(x), y = -x и x = 1, равна π/4 (пересечение одной из ветвей синусоиды с отрицательной прямой оси x).