Question

Помогите! Найти радиус интервал и область сходимости ряда ∞ Σ ((x-2)^n)/n! n=1

Answer 1

Найдем радиус сходимости по формуле Даламбера
              $\displaystyle R= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!(n+1)}{n!}= \lim_{n \to \infty} (n+1)=\infty$

Ряд является абсолютно сходящимся при всех  $x \in (-\infty;+\infty).$

Answer 2

Чтобы найти радиус сходимости и интервал сходимости ряда ∞ Σ ((x-2)^n)/n!, где n начинается с 1, мы можем использовать тест отношения. Формула теста отношения гласит:

r = lim |(a_{n+1} / a_n)|, где a_n = ((x-2)^n)/n!

Давайте применим эту формулу для нахождения радиуса сходимости:

r = lim |(((x-2)^(n+1))/(n+1)!) * (n! / ((x-2)^n))|

Упрощая выражение, получаем:

r = lim |(x-2) / (n+1)|

Так как n стремится к бесконечности, мы можем проигнорировать 1 в знаменателе:

r = |x-2|

Теперь нам нужно определить интервал сходимости. Ряд будет сходиться, когда |x-2| < r, а расходиться, когда |x-2| > r.

Таким образом, интервал сходимости равен (-r, r), где r = |x-2|.

В итоге, радиус сходимости равен |x-2|, а интервал сходимости равен (-|x-2|, |x-2|).