Question

Интеграл arctg^2dx/1+x^2 помогите пожалуйста с алгеброй

Answer 1

$\int \frac{arctg^2x\, dx}{1+x^2}=\int arctg^2x\cdot \frac{dx}{1+x^2}=\Big [\; t=arctgx\; ,\; dt=\frac{dx}{1+x^2}\; \Big ]=\\\\=\int t^2\, dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{1}{3}\cdot arctg^3x+C\; .$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл.

Имеем интеграл: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx.

Для начала, мы можем применить метод интегрирования по частям (интегрирование по частям): ∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - функции, а u' - производная функции u по переменной x.

В данном случае, мы можем выбрать: u = arctg^2(x) => u' = 2 * arctg(x) / (1 + x^2), dv = dx / (1 + x^2) => v = arctg(x).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = u * v - ∫(u' * v) dx.

Подставим значения u, v и u' в формулу: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = arctg^2(x) * arctg(x) - ∫((2 * arctg(x) / (1 + x^2)) * arctg(x)) dx.

Упростим выражение: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = arctg^3(x) - 2 * ∫((arctg^2(x) / (1 + x^2)) dx.

Обозначим ∫((arctg^2(x) / (1 + x^2)) dx как I. Тогда: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = arctg^3(x) - 2 * I.

Теперь мы имеем уравнение с неизвестным интегралом I на правой стороне. Мы можем решить это уравнение, выразив I, как: ∫((arctg^2(x) / (1 + x^2)) dx = arctg^3(x) - 2 * I, 3 * I = arctg^3(x), I = arctg^3(x) / 3.

Таким образом, окончательное решение будет: ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = arctg^3(x) - 2 * (arctg^3(x) / 3), ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = (3 * arctg^3(x) - 2 * arctg^3(x)) / 3, ∫(arctg^2(x)/(1+x^2)) dx = arctg^3(x) / 3.

Это окончательный ответ.