Question

сумма первых 5 членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем  и первым членом 2 равна 211/8. Сумма тех же членов с чередующимся знаками (+,-,+,...) равна 55/8.Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.   Спасиб заранее)

Answer 1

b1=2-первый член прогрессии

q-знаменатель

 

2+2q+2q^2+2q^3+2q^4= 211/8

2-2q+2q^2-2q^3+2q^4= 55/8

 

Сложим почленно эти равенства, получим:

4+4q^2+4q^4=133/16|:4

1+q^2+q^4=133/16

Замена t=q^2

1+t+t^2=133/16

t^2+t-117/16=0

D=1+4*117/16=1+117/4=121/4

 

t1=(-1-11/2):2=2.25

t2=(-1-11/2):2=-13/4 меньше нуля, не подходит, т.к. q^2-неотрицательно

 

t=q^2=2.25, следовательно q=1.5

Ответ: 1,5

 

 

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен а, а знаменатель равен q. Тогда сумма первых 5 членов этой прогрессии может быть выражена следующим образом:

S = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4

Из условия задачи мы знаем, что S = 211/8. Подставим это значение в уравнение:

211/8 = a*(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)

Аналогично, для прогрессии с чередующимся знаками сумма первых 5 членов может быть выражена следующим образом:

S' = a - aq + aq^2 - aq^3 + aq^4

Из условия задачи мы знаем, что S' = 55/8. Подставим это значение в уравнение:

55/8 = a*(1 - q + q^2 - q^3 + q^4)

Теперь у нас есть два уравнения:

211/8 = a*(1 + q + q^2 + q^3 + q^4) 55/8 = a*(1 - q + q^2 - q^3 + q^4)

Разделим эти два уравнения друг на друга:

(211/8) / (55/8) = (a*(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)) / (a*(1 - q + q^2 - q^3 + q^4))

211/55 = (1 + q + q^2 + q^3 + q^4) / (1 - q + q^2 - q^3 + q^4)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно q. Умножим обе части на (1 - q + q^2 - q^3 + q^4):

(211/55)*(1 - q + q^2 - q^3 + q^4) = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4

211*(1 - q + q^2 - q^3 + q^4) = 55*(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)

Раскроем скобки:

211 - 211q + 211q^2 - 211q^3 + 211q^4 = 55 + 55q + 55q^2 + 55q^3 + 55q^4

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

211q^4 - 211q^3 + 156q^2 - 266q + 156 = 0

Это квадратное уравнение относительно q. Решим его с помощью квадратного уравнения.