Question

8sin15°-cos15° ??? Как это решить?

Answer 1

$8\sin15а-\cos15а=8\sin(45а-30а)-\cos(45а-30а)=\\ \\ =8(\sin45а\cos30а-\sin30а\cos45а)-(\cos45а\cos30а+\sin45а\sin30а)\\ \\ =8( \frac{1}{ \sqrt{2} } \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2}}) -(\frac{1}{ \sqrt{2}}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} +\frac{1}{ \sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2} )=\\ \\ =8\cdot \frac{1}{ \sqrt{2}}( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2}) - \frac{ \sqrt{6} }{4} - \frac{ \sqrt{2} }{4} = \frac{8 \sqrt{6}-8 \sqrt{2}- \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} = \frac{7 \sqrt{6}- 9\sqrt{2} }{4}$

Answer 2

Для решения этого выражения воспользуемся тригонометрическими идентичностями. В данном случае мы можем использовать следующие идентичности:

sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Заметим, что у нас имеются значения sin(15°) и cos(15°). Мы можем представить 15° как сумму 45° и -30°, так как sin(45°) = cos(-30°) = √2 / 2 и cos(45°) = sin(-30°) = √2 / 2.

Теперь можем записать выражение в виде:

8sin(15°) - cos(15°) = 8(sin(45° - 30°)) - cos(45° - 30°)

Используя идентичности, получим:

8(sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°)) - (cos(45°)cos(30°) + sin(45°)sin(30°))

Подставим значения sin(45°) = cos(-30°) = √2 / 2 и cos(45°) = sin(-30°) = √2 / 2:

8((√2 / 2)(√3 / 2) - (√2 / 2)(1 / 2)) - ((√2 / 2)(1 / 2) + (√2 / 2)(√3 / 2))

Упростим это выражение:

8(√6 / 4 - √2 / 4) - (√2 / 4 + √6 / 4)

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

(8√6 / 4 - √2 / 4) - (√2 / 4 + √6 / 4)

(8√6 - √2) / 4 - (√2 + √6) / 4

(8√6 - √2 - √2 - √6) / 4

(7√6 - 3√2) / 4

Таким образом, результатом выражения 8sin(15°) - cos(15°) является (7√6 - 3√2) / 4.