Question

Упростите выражение Sin5x-sin6x-sin7x+sin8x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для упрощения данного выражения можно воспользоваться формулой синуса суммы двух углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим эту формулу:

Sin5x - sin6x - sin7x + sin8x = sin(4x + x) - sin(3x + 3x) - sin(3x + 4x) + sin(4x + 4x)

Теперь разложим каждое слагаемое с помощью формулы синуса суммы двух углов:

= sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) - [sin(3x)cos(3x) + cos(3x)sin(3x)] - [sin(3x)cos(4x) + cos(3x)sin(4x)] + [sin(4x)cos(4x) + cos(4x)sin(4x)]

Объединим подобные слагаемые:

= sin(4x)cos(x) - sin(3x)cos(3x) - sin(3x)cos(4x) + sin(4x)cos(4x) + cos(4x)sin(x) - cos(3x)sin(3x) - cos(3x)sin(4x) + cos(4x)sin(4x)

Теперь сгруппируем слагаемые по синусам и косинусам:

= (sin(4x)cos(x) - sin(3x)cos(3x)) - (sin(3x)cos(4x) - sin(4x)cos(4x)) + (cos(4x)sin(x) - cos(3x)sin(3x)) - (cos(3x)sin(4x) - cos(4x)sin(4x))

Далее преобразуем каждое слагаемое отдельно:

= sin(4x - x) - sin(3x - 4x) + sin(x - 3x) - sin(4x - 4x)

= sin(3x) - sin(-x) + sin(-2x) - sin(0)

Учитывая, что sin(-x) = -sin(x) и sin(0) = 0, получаем:

= sin(3x) + sin(x) - sin(2x)

Таким образом, упрощенное выражение равно sin(3x) + sin(x) - sin(2x).