Question

Arcsin√3/2 + arctg(tg6pi/7) + arcctg( ctg(−pi/3)) =kpi Найдите значение k.

Answer 1

Ответ:

arcsin$\sqrt{3} /2$ = pi/3

arctg(tg6pi/7) = 6pi/7

arcctg(ctg(-pi/3)) = -pi/3

pi/3+6pi/7-pi/3=kpi

k=6/7

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения, используем свойства обратных функций тригонометрии:

1. Для arcsin(x): -π/2 ≤ arcsin(x) ≤ π/2

2. Для arctg(x): -π/2 < arctg(x) < π/2

3. Для arcctg(x): 0 < arcctg(x) < π

Дано: arcsin(√3/2) + arctg(tg(6π/7)) + arcctg(ctg(-π/3)) = kπ

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

1. arcsin(√3/2): Так как sin(π/3) = √3/2, то arcsin(√3/2) = π/3

2. arctg(tg(6π/7)): Так как tg(π + x) = tg(x), где x ≠ π/2 + kπ, то tg(6π/7) = tg(6π/7 - π) = tg(-π/7) Так как tg(-x) = -tg(x), то tg(-π/7) = -tg(π/7) Так как tg(x) = sin(x) / cos(x), то tg(π/7) = sin(π/7) / cos(π/7) Так как cos(x) ≠ 0 при -π/2 < x < π/2, то arctg(tg(6π/7)) = arctg(-tg(π/7)) = -arctg(tg(π/7)) = -π/7

3. arcctg(ctg(-π/3)): Так как ctg(-x) = -ctg(x), то ctg(-π/3) = -ctg(π/3) Так как ctg(x) = cos(x) / sin(x), то ctg(π/3) = cos(π/3) / sin(π/3) = (√3/2) / (1/2) = √3 Так как ctg(x) > 0 при 0 < x < π, то arcctg(ctg(-π/3)) = arcctg(-√3) = π - arcctg(√3) = π - π/6 = 5π/6

Теперь можем подставить полученные значения в исходное уравнение:

π/3 + (-π/7) + 5π/6 = kπ

Упростим выражение:

(2π + 3π - 7π) / 42 = kπ

-2π / 42 = kπ

-1/21 = k

Таким образом, значение k равно -1/21.