Question

Неопределенный интеграл sin5x*cos4x

Answer 1

Из произведения нужно перейти к сумме синусов, то есть
 
                       $\sin5x\cos4x=0.5(\sin x+\sin9x)$

Осталось теперь посчитать интеграл суммы синусов.

          $\displaystyle 0.5\int\sin xdx+0.5\int\sin 9xdx=0.5\bigg(-\cos x- \frac{1}{9} \cos 9x\bigg)+C$

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от функции sin(5x)*cos(4x) можно использовать метод интегрирования по частям.

Пусть u = sin(5x), тогда du/dx = 5*cos(5x), и dv/dx = cos(4x), тогда v = (1/4)*sin(4x).

Используя формулу интегрирования по частям ∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du), получаем:

∫(sin(5x)*cos(4x) dx) = (1/4)*sin(5x)*sin(4x) - ∫((1/4)*sin(4x)5cos(5x) dx).

Упрощая, получаем:

∫(sin(5x)*cos(4x) dx) = (1/4)*sin(5x)*sin(4x) - (5/4)∫(sin(4x)*cos(5x) dx).

Теперь мы столкнулись с новым интегралом, ∫(sin(4x)*cos(5x) dx). Мы можем применить метод интегрирования по частям снова.

Пусть u = sin(4x), тогда du/dx = 4*cos(4x), и dv/dx = cos(5x), тогда v = (1/5)*sin(5x).

Применяя формулу интегрирования по частям снова, получаем:

∫(sin(4x)*cos(5x) dx) = (1/5)*sin(4x)*sin(5x) - ∫((1/5)*sin(5x)4cos(4x) dx).

Упрощая, получаем:

∫(sin(4x)*cos(5x) dx) = (1/5)*sin(4x)*sin(5x) - (4/5)∫(sin(5x)*cos(4x) dx).

Обратите внимание, что второй интеграл ∫(sin(5x)*cos(4x) dx) вновь появляется на правой стороне. Мы можем заменить его полученным выражением, чтобы получить уравнение только с одним интегралом:

∫(sin(5x)*cos(4x) dx) = (1/4)*sin(5x)sin(4x) - (5/4)((1/5)*sin(4x)*sin(5x) - (4/5)*∫(sin(5x)*cos(4x) dx)).

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти неопределенный интеграл от sin(5x)*cos(4x). Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получаем:

(6/20)*∫(sin(5x)*cos(4x) dx) = (1/4)*sin(5x)*sin(4x) - (5