Question

Разложите на x6-x4-x2+1

Answer 1

Используя формулу разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)*(A+B)$
:
$x^6-x^4-x^2+1=(x^6-x^4)-(x^2-1)=\\\\x^4(x^2-1)-1*(x^2-1)=\\\\(x^4-1)(x^2-1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-1)=\\\\(x^2+1)(x^2-1)^2=\\\\(x^2+1)((x-1)(x+1))^2=(x^2+1)(x-1)^2(x+1)^2$

Answer 2

Для разложения выражения на множители мы можем воспользоваться методом синтетического деления или методом факторизации. В данном случае воспользуемся методом факторизации.

Дано выражение: x^6 - x^4 - x^2 + 1

Мы видим, что выражение представляет собой разность куба и единицы: x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2. Используем эту формулу для факторизации выражения:

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = (x^6 - 1) - (x^4 + x^2) = (x^3)^2 - 1^2 - (x^2)(x^2 + 1)

Теперь мы видим, что у нас есть разность квадратов внутри второго слагаемого: x^2 + 1 = (x^2 + 1^2). Продолжим факторизацию:

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = (x^3)^2 - 1^2 - (x^2)(x^2 + 1) = (x^3 - 1)(x^3 + 1) - x^2(x^2 + 1) = (x^3 - 1)(x^3 + 1) - x^2(x^2 + 1^2)

Теперь у нас есть разность кубов в первом слагаемом: x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1). Продолжим факторизацию:

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) - x^2(x^2 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1) - x^2(x^2 + 1^2)

Теперь у нас остался неразложенный множитель x^3 + 1. Мы не можем разложить его на множители в рамках вещественных чисел, поэтому окончательное разложение будет выглядеть следующим образом:

x^6 - x^4 - x^2 + 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1)

Таким образом, выражение x^6 - x^4 - x^2 + 1 разлагается на множители как (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1).