Question

Найдите все такие натуральные k, что при любом нечётном n>200 число 19^n+18^n делится на k. Укажите наибольший возможный вариант.

Answer 1

Пусть а=18²⁰¹, b=19²⁰¹. Если a+b делится на k,
то a=rk-b при некотором r, а значит 
18²⁰³+19²⁰³=18²a+19²b=18²(rk-b)+19²b=37b+18²rk. Т.к. оно тоже должно делиться на k, то получаем, что 37b делится на k. Аналогично, 37а должно делиться на k. Т.к. а и b взаимно просты, то k может быть только 37. Ну и  понятно, что 18ⁿ+19ⁿ при любом  нечетном n всегда делится на 18+19=37. Так что ответ k=37.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться теорией остатков и малой теоремой Ферма.

Согласно малой теореме Ферма, если p - простое число и a не делится на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p). Это означает, что a^n ≡ a^(n mod (p-1)) (mod p).

В нашем случае, число k должно делиться на 19^n + 18^n для любого нечетного n > 200.

Рассмотрим остатки 19^n и 18^n при делении на различные простые числа. Для удобства обозначим a = 19 и b = 18.

1. При делении на 2: a^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 2) b^n ≡ 0^n ≡ 0 (mod 2)

2. При делении на 3: a^n ≡ (-1)^n ≡ -1 (mod 3) b^n ≡ 0^n ≡ 0 (mod 3)

3. При делении на 5: a^n ≡ 4^n ≡ (-1)^n ≡ -1 (mod 5) b^n ≡ 3^n ≡ (-2)^n (mod 5)

   Рассмотрим остатки (-2)^n при делении на 5 для нечетных n: n = 1: (-2)^1 ≡ -2 (mod 5) n = 3: (-2)^3 ≡ -8 ≡ 2 (mod 5) n = 5: (-2)^5 ≡ -32 ≡ -2 (mod 5) ... Мы видим, что остатки повторяются с периодом 2: -2, 2, -2, 2, ... Таким образом, для нечетных n, остаток (-2)^n будет равен -2 при n, кратных 2, и 2 в остальных случаях.

Исходя из полученных остатков, мы можем сделать следующие выводы:

• Для того чтобы число k делилось на 19^n + 18^n при любом нечетном n > 200, оно должно делиться на 2, 3 и 5.
• Остаток (-2)^n может быть равен -2 или 2, в зависимости от значения n (четное или нечетное).

Таким образом, мы можем определить наибольший возможный вариант для k, сочетающий все эти условия. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 5 равно 30. То есть, наибольший возможный вариант для k равен 30.

Таким образом, наибольшее возможное значение для k равно 30.