Question

Y= 1/2 x^2 - 1/4 x^4помогите найти экстремумы функции.

Answer 1

Итак, смотри. Для того, чтобы найти экстремумы функции, тебе нужно найти производную этой функции. Все формулы есть в учебниках. 
y'=1/2*2x-1/4*4x^3, 
Сокращаем:
y'=x-x^3, 
Приравниваем производную к нулю:
х-х^3=0;
x(1-x^2)=0;
x1=0;
(1-x)(1+x)=0; (По формуле сокр.умножения),
x=1; x=-1;
Получаем точки экстремума: 0, 1, -1. 
-1 - точка максимума, 
0 - точка минимума, 
1 - точка максимума. 

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Данная функция Y = (1/2)x^2 - (1/4)x^4 имеет следующую производную: Y' = dY/dx = 2(1/2)x - 4(1/4)x^3 = x - x^3

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: x - x^3 = 0

Факторизуем уравнение: x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

1. x = 0
2. x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Теперь, чтобы определить, является ли найденные значения экстремумами, нужно проанализировать знаки производной в окрестности этих значений.

Подставим каждое найденное значение x в производную и определим знаки:

1. При x = 0, Y' = 0 - 0^3 = 0. В данном случае не ясно, является ли это точкой минимума или максимума, так как знак производной не меняется в окрестности x = 0.
2. При x = 1, Y' = 1 - 1^3 = 0. Знак производной меняется с отрицательного на положительное, поэтому x = 1 является точкой локального минимума.
3. При x = -1, Y' = -1 - (-1)^3 = 0. Знак производной меняется с положительного на отрицательное, поэтому x = -1 является точкой локального максимума.

Итак, функция Y = (1/2)x^2 - (1/4)x^4 имеет два экстремума:

• Локальный минимум при x = 1
• Локальный максимум при x = -1