Question

Доказать что число 13n^2+1 не делится на 3 ни при каком n ∈ N

Answer 1

1. Пусть n=1, 13*1 + 1 = 14 не кратно 3. Предположим, что это условие верно для всех n ∈ N

2. Пусть n=k: 13k² + 1 -- не кратно 3, условие выполняется

3. Предположим, что n = k+1:  13(k+1)² + 1  = 13k² + 26k + 13 + 1 = (13k² + 1) + 13(2k + 1). Первая скобка не кратна 3 по 2-му пункту ⇒ и всё выражение не кратно 3 ⇒ условие 3 выполняется при любом n=k+1.

По математической индукции выражение 13n²+1 на кратно 3 при n∈N

Answer 2

Если n кратно 3, то факт очевиден.

Если n равно 3k-1 или 3k+1, то выражение равно 13*(9k^2-6k)+14 или  13*(9k^2+6k)+14,  любое из них на 3 не делится.

Примечание: факт верен, если вместо 13 стоит любое число вида 3н+1 или 3н и неверен если стоит число вида 3н-1.

Answer 3

Давайте докажем данное утверждение методом от противного.

Предположим, что существует такое натуральное число n, при котором 13n^2 + 1 делится на 3. То есть, существует натуральное число k, для которого выполняется следующее:

13n^2 + 1 = 3k

Теперь рассмотрим левую часть этого равенства. Так как квадрат любого натурального числа всегда неотрицателен, то мы можем записать:

13n^2 + 1 ≥ 1

Таким образом, мы получаем следующее неравенство:

1 ≥ 3k

Очевидно, что данное неравенство не может быть выполнено для натурального числа k, так как 3k будет стремиться к бесконечности при увеличении k.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что число 13n^2 + 1 делится на 3 при некотором натуральном числе n, было неверным.

Следовательно, можно заключить, что число 13n^2 + 1 не делится на 3 ни при каком n ∈ N.