Question

Решите уравнение cos10x+2sin^2 5x=2sinx на отрезке 0:п/2

Answer 1

$cos10x+2sin^25x=2sinx \\ 1-2sin^25x+2sin^5x=2sinx \\ 2sinx=1 \\ sinx= \frac{1}{2} \\ x=(-1)^k*arcsin \frac{1}{2} + \pi k \\ x=(-1)^k* \frac{ \pi }{6} + \pi k$

Корни

При k = 0; x=π/6

Answer 2

Для решения данного уравнения на отрезке от 0 до π/2, воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгебраическими преобразованиями. Начнем с упрощения выражения.

Используем тождество sin^2 θ + cos^2 θ = 1:

2sin^2 5x = 2(1 - cos^2 5x) = 2 - 2cos^2 5x.

Теперь заменим cos10x и 2sin^2 5x в исходном уравнении:

cos10x + 2sin^2 5x = 2sinx.

cos10x + 2 - 2cos^2 5x = 2sinx.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2cos^2 5x - cos10x - 2sinx + 2 = 0.

Теперь применим формулу двойного угла cos(2θ):

cos(2θ) = 2cos^2 θ - 1.

Заменим cos10x в уравнении:

2cos^2 5x - (2cos^2 5x - 1) - 2sinx + 2 = 0.

2cos^2 5x - 2cos^2 5x + 1 - 2sinx + 2 = 0.

3 - 2sinx = 0.

2sinx = 3.

sinx = 3/2.

Заметим, что значение sinx больше 1, что невозможно. Поэтому данное уравнение не имеет решений на отрезке от 0 до π/2.