Question

Найдите промежутки убывания функции f(x)=3+8x^2-x^4

Answer 1

Y¹=-4x³+16x=16x-4x³
16x-4x³=0
4x(4-x²)=0
4x(2-x)(2+x)=0
x=0 x=2 x=-2
На координатном луче построишь эти точки, узнаешь знаки производной, и соответственно что происходит с функцией. Промежутки убывания [-2;0]U[2;+∞)

Answer 2

Для определения промежутков убывания функции f(x) = 3 + 8x^2 - x^4 нужно найти интервалы значений x, на которых производная функции отрицательна.

Сначала найдем производную функции f'(x). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности:

f'(x) = d/dx(3) + d/dx(8x^2) - d/dx(x^4)

Упростим это:

f'(x) = 0 + 16x - 4x^3

Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

0 = 16x - 4x^3

4x^3 - 16x = 0

4x(x^2 - 4) = 0

Теперь найдем значения x, которые удовлетворяют этому уравнению:

4x = 0 => x = 0

x^2 - 4 = 0 => (x - 2)(x + 2) = 0 => x = 2 или x = -2

Теперь построим таблицу знаков для производной f'(x) в интервалах между найденными значениями и налево и направо от них:

-∞ -2 0 2 +∞

f' | - | 0 | + | 0 | +

Из таблицы знаков видно, что производная f'(x) отрицательна на интервале (-2, 0) и положительна на интервалах (-∞, -2) и (0, 2).

Следовательно, функция f(x) убывает на интервале (-2, 0).