Question

1)найти значение производной функции y=f(x) в точке x0, если f(x)= 3x^3-1, x0=1 2)записать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, если f(x)=4x-cosx+1, x0=x/2

Answer 1

$\displaystyle 1.\,\, f(x)=3x^3-1; \quad x_0=1\\\\f'(x)=3*3x^{3-1}-0\\\\f'(x)=9x^2\\\\f'(1)=9*1^2=9\\\\Otvet:\quad 9.\\\\\\2.\quad f(x)=4x-cosx+1;\quad x_0=\frac{\pi } {2} \\\\y_{kac}=f(x_0)+f'(x_0)\times (x-x_0)\\\\f\bigg(\frac{\pi }{2} \bigg)=\frac{4\pi }{2}-cos\frac{\pi }{2}-1=2\pi -0-1=\underbrace{2 \pi -1}_{f(x_0)}\\\\f'(x)=4+sinx+0=4+sinx\\\\f'\bigg(\frac{\pi }{2}\bigg)=4+sin\frac{\pi}{2}=4+1=\underbrace{5}_{f'(x_0)}\\\\\\y_{kac}= 2\pi -1+5\times \bigg(x-\frac{\pi}{2}\bigg) =2\pi-1+5x-2.5\pi$

$\displaystyle y_{kac}=5x-0.5 \pi -1\\\\Otvet:\quad y_{kac}=5x-0.5 \pi -1$

Answer 2

1. Чтобы найти значение производной функции y = f(x) в точке x₀, нужно вычислить производную функции f(x) и подставить в неё значение x₀.

Дано: f(x) = 3x^3 - 1 x₀ = 1

Сначала найдём производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = d/dx(3x^3 - 1)

Для функции вида f(x) = ax^n, производная будет равна: f'(x) = nax^(n-1)

Применяя это правило к функции f(x), получим: f'(x) = 3 * 3x^(3-1) - 0

f'(x) = 9x^2

Теперь подставим значение x₀ = 1 в производную функции: f'(x₀) = 9(1)^2 f'(x₀) = 9

Таким образом, значение производной функции y = f(x) в точке x₀ = 1 равно 9.

2. Чтобы записать уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀, нужно найти значение функции f(x₀) и значение производной функции f'(x) в точке x₀.

Дано: f(x) = 4x - cos(x) + 1 x₀ = x/2

Сначала найдём значение функции f(x₀): f(x₀) = 4(x₀) - cos(x₀) + 1

Затем найдём производную функции f(x) по переменной x: f'(x) = d/dx(4x - cos(x) + 1)

Применим правила дифференцирования: f'(x) = 4 - (-sin(x))

Теперь подставим значение x₀ = x/2 в функцию и её производную: f(x₀) = 4(x₀) - cos(x₀) + 1 f'(x₀) = 4 - (-sin(x₀))

Подставим x₀ = x/2 в эти выражения: f(x₀) = 4(x/2) - cos(x/2) + 1 f'(x₀) = 4 - (-sin(x/2))

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ = x/2 будет иметь вид: y = (4(x/2) - cos(x/2) + 1) + (4 - (-sin(x/2)))(x - x₀)