Question

8. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Answer 1

Ответ:

Вертикальные углы равны

Answer 2

Пусть у нас есть два вертикальных угла, обозначим их как ∠AOB и ∠COB, где точка O - вершина обоих углов, а A, B и C - точки на лучах, идущих из вершины O.

Чтобы доказать, что биссектрисы этих углов лежат на одной прямой, мы воспользуемся следующим свойством биссектрисы: она делит соответствующий угол пополам.

Пусть BD и BE - биссектрисы углов ∠AOB и ∠COB соответственно. Чтобы доказать, что они лежат на одной прямой, нам нужно показать, что они пересекаются или параллельны.

Рассмотрим два случая:

1. Случай пересечения: Допустим, биссектрисы BD и BE пересекаются в точке M. Обозначим углы AOM и COM как α и β соответственно. Поскольку BD является биссектрисой угла ∠AOB, она делит этот угол на два равных угла, поэтому ∠BAM = ∠BDM = α/2. Аналогично, поскольку BE является биссектрисой угла ∠COB, ∠CBM = ∠BEM = β/2. Так как α/2 + β/2 = (α + β)/2, то получаем, что ∠BAM + ∠CBM = (α + β)/2. Но у нас есть вертикальные углы ∠AOB и ∠COB, которые равны друг другу, поэтому α + β = 180°. Следовательно, (α + β)/2 = 180°/2 = 90°. Таким образом, ∠BAM + ∠CBM = 90°, что означает, что точка M лежит на прямой, проходящей через вершину O и перпендикулярной линии AB. Аналогично, мы можем показать, что точка M также лежит на прямой, проходящей через вершину O и перпендикулярной линии BC. Следовательно, биссектрисы BD и BE пересекаются в одной точке M и, следовательно, лежат на одной прямой.

2. Случай параллельности: Если биссектрисы BD и BE не пересекаются, то они должны быть параллельны. Допустим, BD и BE не пересекаются. Обозначим точку M' на BD