Question

При каком целом значении p уравнения 3x^2-4x+p-2=0 и x^2-2px+5=0 имеют общий корень? Найти этот корень. Помогите решить, пожалуйста, подробно

Answer 1

3x²-4x+p-2=x²-2px+5
2x²+x(2p-4)+p-7=0
D=(2p-4)²-8(p-7)=4p²-16p+16-8p+56=4p²-24p+72≥0
p²-6p+18≥0
D=36-72=-36<0
p∈(-∞;∞)

Answer 2

Чтобы уравнения 3x^2 - 4x + p - 2 = 0 и x^2 - 2px + 5 = 0 имели общий корень, необходимо и достаточно, чтобы эти уравнения имели одинаковые значения при этом корне. То есть, мы должны найти значение x, при котором оба уравнения равны друг другу.

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем корни уравнения x^2 - 2px + 5 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае у нас a = 1, b = -2p и c = 5. Тогда D = (-2p)^2 - 4 * 1 * 5 = 4p^2 - 20.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Шаг 2: Подставим корень уравнения x^2 - 2px + 5 = 0 в первое уравнение 3x^2 - 4x + p - 2 = 0. Поскольку мы ищем общий корень, подставим значение x в оба уравнения и приравняем их друг к другу.

Таким образом, у нас есть два случая:

Случай 1: У уравнения x^2 - 2px + 5 = 0 есть два различных корня. В этом случае D > 0, то есть 4p^2 - 20 > 0. Решим это неравенство: 4p^2 - 20 > 0 4p^2 > 20 p^2 > 5 p > √5 или p < -√5

Таким образом, если p > √5 или p < -√5, у уравнений есть два различных корня, и они не имеют общего корня.

Случай 2: У уравнения x^2 - 2px + 5 = 0 есть один корень. В этом случае D = 0, то есть 4p^2 - 20 = 0. Решим это уравнение: 4p^2 = 20 p^2 = 5 p = ±√5

Таким образом, если p = ±√5, у уравнений есть один общий корень.

Шаг 3: Найдем значение общего корня. Подставим p = ±√5 в уравнение x^2 - 2px + 5 = 0 и найдем значение x.

Если p = √5: