Question

Объясните, пожалуйста, решение. Интересует откуда в решении взялось перед +С *2? Почему мы умножаем на 2? Скорость материальной точки, которая движется прямолинейно задана формулой v(t)=2 cos t/2. Запишите формулу зависимости координаты точки от времени, если известно что в момент t=pi/3 секунды точка находилась на расстоянии 4м от начала координат. х(t)= 2*sin t/2 * 2 + С

Answer 1

Функция координаты точки от времени является интегралом от функции, задающей скорость. Т. е. x(t) = ∫ v(t)dt. Т. к. v(t) = 2Cos(t/2), то x(t) = ∫ 2Cos(t/2)dt = 2∫ Cos(t/2)dt. Произведем замену аргумента: t/2 = p. Тогда dp = 1/2dt, отсюда dt = 2dp и x(t) = 2∫ Cos(t/2)dt = 2*2∫ Cos(p)dp = 4∫ Cos(p)dp = 4Sin(p)+C. Подставляя обратно p = t/2, получаем x(t) = 4Sin(t/2) + C.

Answer 2

Для решения данной задачи используем основное уравнение кинематики:

v(t) = dx(t)/dt,

где v(t) - скорость точки в момент времени t, x(t) - координата точки в момент времени t.

Исходя из данного условия задачи, у нас задано выражение для скорости:

v(t) = 2*cos(t/2).

Теперь нам нужно найти выражение для координаты точки x(t) в зависимости от времени t. Для этого проинтегрируем уравнение скорости:

dx(t) = v(t) * dt,

∫dx(t) = ∫(2*cos(t/2)) * dt.

Интегрируя правую часть по t, получим:

x(t) = ∫(2*cos(t/2)) * dt.

Интегрируем правую часть:

x(t) = 2 * ∫(cos(t/2)) * dt.

Интегрирование cos(t/2) даст нам sin(t/2), поэтому:

x(t) = 2 * sin(t/2) + C,

где C - постоянная интегрирования, которую нужно найти.

Далее, в условии задачи сказано, что в момент времени t = pi/3 секунды, координата x(t) равна 4 метра. Подставим это значение и найдем C:

4 = 2 * sin(pi/3 / 2) + C.

Вычисляем sin(pi/3 / 2):

sin(pi/3 / 2) = sin(pi/6) = 1/2.

Теперь подставляем значения:

4 = 2 * (1/2) + C,

4 = 1 + C.

Вычитаем 1 с обеих сторон:

C = 4 - 1 = 3.

Таким образом, получаем окончательное выражение для координаты x(t):

x(t) = 2 * sin(t/2) + 3.