Question

Помогите решить уравнение:sin3x-sinx+cos2x=1

Answer 1

Sin3x-sinx+cos2x=1
2sinxcos2x+cos²x-sin²x-sin²x-cos²x=0
2sinxcos2x-2sin²x=0
2sinx*(cos2x-sinx)=0
sinx=0⇒x=πn,n∈z
cos2x-sinx=0
1-2sin²x-sinx=0
sinx=a
2a²+a-1=0
D=1+8=9
a1=(-1-3)/4=-1⇒sinx=-1⇒x=-π/2+2πn,n∈z
a2=(-1+3)/4=1/2⇒sinx=1/2⇒x=(-1)^n*π/6+πn,n∈z

Answer 2

Конечно! Давайте решим уравнение sin(3x) - sin(x) + cos(2x) = 1.

Сначала перепишем уравнение в терминах одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулами для синуса и косинуса двойного угла:

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x) cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Заменим sin(3x) и cos(2x) в исходном уравнении:

3sin(x) - 4sin^3(x) - sin(x) + 2cos^2(x) - 1 = 1

Объединим подобные слагаемые:

2sin(x) - 4sin^3(x) + 2cos^2(x) = 2

Теперь заметим, что sin(x) = cos(π/2 - x), поэтому:

2sin(x) - 4sin^3(x) + 2cos^2(x) = 2cos(π/2 - x) - 4cos^3(π/2 - x) + 2cos^2(x)

Таким образом, уравнение можно переписать в терминах косинуса:

2cos(π/2 - x) - 4cos^3(π/2 - x) + 2cos^2(x) = 2

Для удобства заменим y = π/2 - x, тогда уравнение примет вид:

2cos(y) - 4cos^3(y) + 2sin^2(y) = 2

Упростим его:

2cos(y) - 4cos^3(y) + 2(1 - cos^2(y)) = 2

2cos(y) - 4cos^3(y) + 2 - 2cos^2(y) = 2

-4cos^3(y) - 2cos^2(y) + 2cos(y) = 0

Вынесем общий множитель cos(y):

cos(y)(-4cos^2(y) - 2cos(y) + 2) = 0

Таким образом, получаем два возможных уравнения:

1. cos(y) = 0

Решение этого уравнения: y = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. -4cos^2(y) - 2cos(y) + 2 = 0

Решить это квадратное уравнение можно с помощью формулы дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4(-4)(2) = 4 + 32 = 36

D > 0, следовательно, у уравнения есть два действительных корня:

cos(y) = (-(-2) ± √36) / (2(-4)) = (2 ± 6) / -8

cos(y) = -1 или cos(y) = 1/2

1. Если cos(y) = -1, то y = π + 2k