Question

Cos²(45°-a)-cos²-(60°+a)-75°·sin(75°-2a)=sin2a Докажите тождество

Answer 1

Cos(45-a))^2 - (cos(60+a))^2 - cos75*sin(75-2a) =
(cos(45-a) - cos(60+a))*(cos(45-a) + cos(60+a)) - cos75*sin(75-2a) =
2sin(105/2)sin(15/2 + a) * 2cos(105/2)cos(15/2 + a) - cos75*sin(75-2a) =
sin105 * sin(15+2a) - cos75sin(75-2a) = sin(180-75) * sin(90-(75-2a)) - cos75*sin(75-2a) =
sin(75) * cos(75-2a) - cos75*sin(75-2a) = sin(75 - (75-2a)) = sin2a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам понадобятся некоторые тригонометрические идентичности. Давайте начнем:

1. Тригонометрическая идентичность: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

2. Тригонометрическая идентичность: cos²(θ) = 1 - sin²(θ)

Теперь мы можем приступить к доказательству тождества:

Исходное уравнение: cos²(45°-a) - cos²(60°+a) - 75°·sin(75°-2a) = sin(2a)

Разложим все части данного уравнения по идентичностям, которые мы указали выше:

cos²(45°-a) = 1 - sin²(45°-a) cos²(60°+a) = 1 - sin²(60°+a) sin(75°-2a) = sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)

Теперь заменим эти значения в исходном уравнении:

(1 - sin²(45°-a)) - (1 - sin²(60°+a)) - 75°·(sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)) = 2sin(a)cos(a)

Раскроем скобки и упростим выражение:

1 - sin²(45°-a) - 1 + sin²(60°+a) - 75°·(sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)) = 2sin(a)cos(a)

sin²(60°+a) - sin²(45°-a) - 75°·(sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)) = 2sin(a)cos(a)

Теперь воспользуемся некоторыми другими тригонометрическими идентичностями:

sin²(θ) - sin²(φ) = sin(θ + φ)sin(θ - φ) sin(θ + φ) = sin(θ)cos(φ) + cos(θ)sin(φ) sin(θ - φ) = sin(θ)cos(φ) - cos(θ)sin(φ)

Применим эти идентичности:

(sin(60°)cos(a) + cos(60°)sin(a))(sin(60°)cos(a) - cos(60°)sin(a)) - 75°·(sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)) = 2sin(a)cos(a)

[(√3/2)cos(a) + (1/2)sin(a)][(√3/2)cos(a) - (1/2)sin(a)] - 75°·(sin(75°)cos(2a) - cos(75°)sin(2a)) = 2sin(a)cos(a