Question

Найти производную: y= ((x^2-1)/(x^2+1))^4

Answer 1

$y=(\frac{x^{2}-1} {x^{2}+1}) ^{4}\\y'=4*(\frac{x^{2}-1} {x^{2}+1}) ^{3}*( \frac{x^{2}-1} {x^{2}+1})'=4*(\frac{x^{2}-1} {x^{2}+1}) ^{3}* \frac{(x^{2}-1)'*(x^{2}+1)-(x^{2}-1)*(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1) ^{2}}=4*( \frac{x^{2}-1} {x^{2}+1}) ^{3}* \frac{2x(x^{2}+1)-2x(x^{2}-1)}{(x^{2}+1) ^{2}}=4*( \frac{x^{2}-1} {x^{2}+1}) ^{3}*\frac{2x(x^{2}+1-x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}}= \frac{16x(x^{2}-1)^3} {(x^{2}+1) ^{5}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ((x^2 - 1) / (x^2 + 1))^4, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Давайте найдем производную шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию как u и внешнюю функцию как v, где: u = (x^2 - 1) / (x^2 + 1) v = u^4

Шаг 2: Найдем производную внутренней функции u по переменной x, используя правило дифференцирования частного и композиции функций: u' = [(x^2 + 1)(2x) - (x^2 - 1)(2x)] / (x^2 + 1)^2

Шаг 3: Упростим выражение: u' = (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x) / (x^2 + 1)^2 u' = 4x / (x^2 + 1)^2

Шаг 4: Теперь найдем производную внешней функции v по переменной u, используя правило дифференцирования степенной функции: v' = 4u^3

Шаг 5: Найдем производную итоговой функции y по переменной x, используя правило дифференцирования сложной функции: y' = v' * u'

Шаг 6: Подставим значения u' и v' в y': y' = 4u^3 * (4x / (x^2 + 1)^2) y' = 16xu^3 / (x^2 + 1)^2

Шаг 7: Заменим u на исходную функцию ((x^2 - 1) / (x^2 + 1)): y' = 16x((x^2 - 1) / (x^2 + 1))^3 / (x^2 + 1)^2

Таким образом, производная функции y = ((x^2 - 1) / (x^2 + 1))^4 равна 16x((x^2 - 1) / (x^2 + 1))^3 / (x^2 + 1)^2.