Question

Решите дифференциальное уравнение и найдите частные решения, удовлетворяющие данным условиям (√xy+√x)*y^,-y=0 если y=1 при x=1 (пояснения: корень из XY плюс корень из X умножить на производную Y минус Y равно 0)

Answer 1

$( \sqrt{xy} + \sqrt{x} )y'-y=0, \sqrt{x} ( \sqrt{y}+1)y'=y, \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}y'= \frac{1}{ \sqrt{x} }$
$\frac{ \sqrt{y}+1 }{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{x} }, \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}dy=\frac{1}{ \sqrt{x} }dx,$
$\int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}\, dy =\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{x} }dx,$
1) $\int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y}+1 }{y}\, dy= \int\limits^{}_{} \frac{ \sqrt{y} }{y} dy+\int\limits^{}_{} \frac{1}{y} dy=\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{y} } dy+\int\limits^{}_{} \frac{1}{y} dy=2 \sqrt{y}+ln(y) +C_{1}$
2) $\int\limits^{}_{} \frac{1}{ \sqrt{x} }dx=2 \sqrt{x} +C_{2}$
Получаем
$2 \sqrt{y}+ln(y) +C_{1}=2 \sqrt{x} +C_{2},2 \sqrt{y}+ln(y)=2 \sqrt{x} +C,$
x=1, y=1  $2 \sqrt{1}+ln(1)=2 \sqrt{1} +C, C=2+0-2, C=0$
Ответ:  $2 \sqrt{y}+ln(y)=2 \sqrt{x} +C$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является нелинейным и неоднородным. Для его решения можно использовать метод вариации произвольной постоянной.

Пусть y = x^n, где n - неизвестная степень.

Тогда y' = nx^(n-1) и y'' = n(n-1)x^(n-2).

Подставим эти значения в дифференциальное уравнение: (√xy + √x)y' - y = (√x(x^n) + √x)(nx^(n-1)) - x^n = n√x^(n+1) - x^n = 0.

Теперь найдем значение n, для которого это уравнение выполняется. n√x^(n+1) - x^n = 0. n(x^(n/2+1/2)) - (x^(n/2))^2 = 0. n(x^(n/2+1/2) - x^(n/2)) = 0.

Условие n(x^(n/2+1/2) - x^(n/2)) = 0 будет выполняться, если n = 0 или x^(n/2+1/2) - x^(n/2) = 0.

Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. n = 0: Уравнение принимает вид: 0√x^(0+1) - x^0 = -1 = 0, что неверно. Таким образом, n = 0 не является решением.

2. x^(n/2+1/2) - x^(n/2) = 0: Поделим обе части уравнения на x^(n/2): x^(1/2) - 1 = 0, √x - 1 = 0, √x = 1, x = 1.

Таким образом, при x = 1 выполняется условие x^(n/2+1/2) - x^(n/2) = 0.

Теперь найдем частное решение y_1(x) для x = 1: y_1(x) = x^n = 1^n = 1.

Проверим начальное условие, при x = 1 y = 1: y_1(1) = 1.

Таким образом, частное решение y_1(x) = 1 удовлетворяет заданным условиям.

Ответ: Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условию y = 1 при x = 1, равно y_1(x) = 1.